广东省韶关市乳源县高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线()与函数,的图象分别交于、两点,当最小时,值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
3. .设函数,对于任意不相等的实数,代数式的值等于( )
A. B.
C.、中较小的数 D.、中较大的数
参考答案:
D
4. 在等差数列中,,其前n项和为的值等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. (5分)若点(4,a)在y=的图象上,则tanπ的值为( )
A. 0 B. C. 1 D.
参考答案:
考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 把点(4,a)代入y=中,求出a的值,再计算tanπ的值.
解答: ∵点(4,a)在y=的图象上,
∴=a,
解得a=2;
∴tanπ=tan=.
故选:D.
点评: 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角函数求值的问题,是基础题.
6. 已知函数,若,,,则的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 设函数若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( )
A.
B.
﹣4
C.
D.
4
参考答案:
A
略
8. 设集合,,,则 等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 设,则下列不等式中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
本题考查了不等式的性质、均值不等式,考查了学生灵活运用知识解题的能力。
解法1:利用均值不等式与作差法比较。
解法2:特例法,令,则B满足。
10. 设直线m、n和平面,下列四个命题中,正确的是 ( )
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
参考答案:
D
因为选项A中,两条直线同时平行与同一个平面,则两直线的位置关系有三种,选项B中,只有Mm,n相交时成立,选项C中,只有m垂直于交线时成立,故选D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=( )
A.0 B. C.4 D.8
参考答案:
B
略
12. 已知,且,则 。
参考答案:
13. 已知函数在内是减函数,则实数的范围是 ▲ .
参考答案:
?≤ω<0
略
14. 已知是定义在上的奇函数,当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.
参考答案:
略
15. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称,且函数,则函数的图象必过定点___________.
参考答案:
(1,-4)
因为恒过定点,所以过定点,所以过定点,填.
16. 以下命题:①若,则∥;②=(-1,1)在=(3,4)方向上的投影为;③若△ABC中,a=5,b =8,c =7,则·=20;④若非零向量、满足,则.其中所有真命题的标号是 。
参考答案:
①②④
由,所以,即或,所以∥,所以①正确。在方向上的投影为,所以②正确。,即。所以,所以③错误。由得,,即,若,则有,即,显然成立,所以④正确。综上真命题的标号为①②④。
17. 如图,阴影部分区域Γ是由线段AC,线段CB及半圆所围成的图形(含边界),其中边界点的坐标为A(1,1),B(3,3),C(1,3)当动点P(X,Y)在区域Γ上运动时,的取值范围是 .
参考答案:
[,3]
考点:
简单线性规划的应用..
专题:
数形结合.
分析:
本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的可行域,分析表示的几何意义,结合图象即可给出的取值范围.
解答:
解:平面区域如下图示,表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,
当(x,y)=C(1,3)时取最大值3,
又半圆的圆心为(2,2),半径为,
设过原点且与半圆相切的切线方程为y=kx,
则圆心到切线的距离d==,解得k=2﹣,
∴最小值2﹣,
故的取值范围是[,3].
故答案为:[,3].
点评:
平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. [极坐标与参数方程选讲]
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的参数方程为(为参数),圆C的极坐标方程为=1,
(I)求直线与圆C的公共点的个数;
(II)在平面直角坐标中,圆C经过伸缩变换得到曲线,设M(为曲线 上一点,求4的最大值,并求相应点M的坐标.
参考答案:
(Ⅰ)直线的方程为 圆的方程是
圆心到直线的距离为,等于圆半径,
∴直线与圆的公共点个数为; …………………………………5分
(Ⅱ)圆的参数方程方程是
∴曲线的参数方程是
∴
当或时,取得最大值
此时的坐标为或 ………………………………10分
19. 已知函数
(I)若曲线在点处的切线与直线垂直,求a的值;
(II)求函数的单调区间;
参考答案:
解:(I)函数,
又曲线处的切线与直线垂直,
所以 即a=1.
(II)由于
当时,对于在定义域上恒成立,
即上是增函数.
当
当单调递增;
当单调递减.
略
20. (本小题满分10分)
已知集合
(1)若求实数m的值;
(2)设集合为R,若,求实数m的取值范围。
参考答案:
(1)
,,
(2)
略
21. (12分)(2015?陕西校级二模)已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1,其中a为实数,
(1)若a=1,求函数f(x)的最小值;
(2)若方程f(x)=0在(0,2]上有实数解,求a的取值范围;
(3)设ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,且a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn,
求证:<1.
参考答案:
【考点】: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】: 导数的综合应用.
【分析】: (1)求出f'(x)=ex﹣1,由f'(x)=0得x=0,从而求出函数的单调区间,进而求出函数的最值;
(2)先求出f'(x)=ex﹣a(0<x≤2),再讨论①当a≤1时,②当a≥e2时,③当1<a<e2时的情况,从而求出a的范围;
(3)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,ex>x+1,得bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…,n),求和得从而问题得证.
解:(1)f'(x)=ex﹣1,由f'(x)=0得x=0
当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内递增;
当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)内递减;
故函数f(x)在x=0处取得最小值f(1)=0.
(2)f'(x)=ex﹣a(0<x≤2)
①当a≤1时,f'(x)>0,f(x)在(0,2]内递增;
f(x)>f(0)=0,方程f(x)=0在(0,2]上无实数解;
②当a≥e2时,f'(x)≤0,f(x)在(0,2]内递减;
f(x)<f(0)=0,方程f(x)=0在(0,2]上无实数解;
③当1<a<e2时,由f'(x)=0,得x=lna,
当0<x<lna时,f'(x)<0,f(x)递减;
当lna<x<2时,f'(x)>0,f(x)递增;
又f(0)=0,f(2)=e2﹣2a﹣1
由f(2)=e2﹣2a﹣1≥0得
故a的取值范围为
(3)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,ex>x+1,即ln(x+1)<x.
∵ak,bk>0,从而有lnak<ak﹣1,
得bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…,n),
求和得
即,
故.
【点评】: 本题考查了函数的单调性,导数的应用,考查不等式的证明,求参数的范围,是一道综合题.
22. 已知函数f(x)=﹣x2+ax﹣lnx(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求证:4f(x1)﹣2f(x2)≤1+3ln2.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1)的值,求出切线方程即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围判断函数的单调性即可;
(Ⅲ)根据函数的极值的个数求出a的范围,求出4f(x1)﹣2f(x2)的解析式,根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=﹣x2+x﹣lnx,f′(x)=﹣x+1﹣,
则f(1)=,f'(1)=﹣1,
所以所求切线方程为y﹣=﹣(x﹣1),即2x+2y﹣3=0.
(Ⅱ)由f(x)=﹣x2+ax﹣lnx,得f′(x)=﹣x+a﹣=﹣.
令g(x)=x2﹣ax+1,则f′(x)=﹣,
①当△=a2﹣4<0,即﹣2<a<2时,g(x)>0恒成立,则f′(x)<0,
所以f)x)在(0,+∞)上是减函数.
②当△=0,即a=±2时,g(x)=x2±2x+1=(x±1)2≥0,则f′(x)≤0,
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.
③当△=a2﹣4>0,即a<﹣2或a>2.
(i)当a<﹣2时,g(x)=x2﹣ax+1是开口向上且过点(0,1)的抛物线,
对称轴方程为x=(<﹣1),则g(x)>0恒成立,从而f′(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(ii)当a>2时,g(x)是开口向上且过点(0,1)的抛物线,
对称轴方程为x=(>1),则函数g(x)有两个零点:
,列表如下:
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
综上,当a≤2时,f(x)的减区间是(0,+∞);
当a>2时,f(x)的增区间是,减区间是,.
(Ⅲ)证明:根据(Ⅱ),当a>2时,f(x)有两个极值点x1,x2,(x1<x2),
则x1,x2是方程g(x)=0的两个根,
从而.
由韦达定理,得x1x2=1,x1+x2=a.
又a﹣2>0,所以0