2022年江西省赣州市仙下中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中,( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
参考答案:
B
2. 复数的共轭复数所对应的点位于复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
C
【分析】
通过化简,于是可得共轭复数,判断在第几象限即得答案.
【详解】根据题意得,所以共轭复数为,对应点为
,故在第三象限,答案为C.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算,共轭复数的概念,难度不大.
3. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在同一个球面上,则该球的内接正方体的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图,求出三棱柱的底面边长和高,从而求出它外接球的半径,再求球内接正方体的棱长,即可求出其表面积.
【解答】解:由已知中的三棱柱正视图可得:
三棱柱的底面边长为2,高为1
则三棱柱的底面外接圆半径为
r=,
球心到底面的距离为
d=;
则球的半径为
R==;
∴该球的内接正方体对角线长是
2R=2=a,
∴a=2=;
∴内接正方体的表面积为:
S=6a2=6×=.
故选:D.
5. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|log4x<0.5},则( )
A.A∩B=? B.A∩B=B C.?UA∪B=R D.A∪B=B
参考答案:
B
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】利用不等式的性质分别求出集合A与B,由此利用交集和并集的定义能求出结果.
【解答】解:∵集合A={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},
B={x|log4x<0.5}={x|0<x<2},
∴A∩B=B,?UA∪B={x|x≤﹣1或x>0},A∪B=A.
故选:B.
6. 函数的单调递增区间为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
7. 等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前9项和是( )
A.9 B.10 C.81 D.90
参考答案:
C
因为a2是a1和a5的等比中项,所以,又a1=1,所以,解得d=2,所以,故选C.
8. 若函数在内有极小值 , 则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 抛物线的准线方程为,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为( )
A.7 B.8 C.9 D.10 www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等比数列中,,在与两项之间依次插入个正整数,得到数列,即.则数列的前2013项之和 ▲ (用数字作答).
参考答案:
2007050
在数列中,到项共有项,即为.
则 .
设等比数的公比为,由,,得,解得 ,
因此
故答案为2007050.
12. 已知定义在R上的可导函数f(x)满足,若,则实数m的取值范围是______.
参考答案:
【详解】试题分析:令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为.
考点:导数及运用.
13. 已知函数f(x)=lnx+ax2+(2﹣2a)x+(a>0),若存在三个不相等的正实数x1,x2,x3,使得=3成立,则a的取值范围是 .
参考答案:
(,)
考点:利用导数研究函数的极值.
专题:导数的综合应用.
分析:若存在三个不相等的正实数x1,x2,x3,使得=3成立,等价为方程f(x)=3x存在三个不相等的实根,构造函数,求函数的导数,研究函数的极值,利用极大值大于0,极小值小于0,即可得到结论.
解答: 解:若存在三个不相等的正实数x1,x2,x3,使得=3成立,
即方程f(x)=3x存在三个不相等的实根,
即lnx+ax2+(2﹣2a)x+=3x,lnx+ax2﹣(1+2a)x+=0有三个不相等的实根,
设g(x)=lnx+ax2﹣(1+2a)x+,
则函数的导数g′(x)=+2ax﹣(1+2a)==,
由g′(x)=0得x=1,x=,
则g(1)=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+,
g()=ln+a()2﹣(1+2a)+=﹣1﹣ln2a.
若=1,即a=时,g′(x)=≥0,此时函数g(x)为增函数,不可能有3个根,
若>1,即0<a<时,由g′(x)>0得x>或0<x<1,此时函数递增,
由g′(x)<0得1<x<,此时函数递减,
则当x=1时函数g(x)取得极大值g(1)=﹣1﹣a+,
当x=时函数g(x)取得极小值g()=﹣1﹣ln2a,
此时满足g(1)=﹣1﹣a+>0且g()=﹣1﹣ln2a<0,
即,即,
则,解得<a<.
同理若<1,即a>时,由g′(x)>0得x>1或0<x<,此时函数递增,
由g′(x)<0得<x<1,此时函数递减,
则当x=1时函数g(x)取得极小值g(1)=﹣1﹣a+,
当x=时函数g(x)取得极大值g()=﹣1﹣ln2a,
此时满足g(1)=﹣1﹣a+<0且g()=﹣1﹣ln2a>0,
即,
∵a>,∴2a>1,则ln2a>0,则不等式ln2a<﹣1不成立,即此时不等式组无解,
综上<a<.
故答案为:
点评:本题主要考查导数的综合应用,根据条件转化为方程f(x)=3x存在三个不相等的实根,构造函数,利用导数研究函数的极值是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
14. 不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球,其中2只白球,3只红球,现从中随机取出2只球,则取出的这2只球颜色相同的概率是_________.
参考答案:
.
【分析】
根据古典概型概率公式求解.
【详解】从5只球中随机取出2只球,共有种基本事件,
从5只球中取出2只球颜色相同求,共有种基本事件,
因此所求概率为
15. 若“函数在上有两个零点”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是
参考答案:
16. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到4095个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为 .
参考答案:
【考点】归纳推理.
【专题】计算题;等差数列与等比数列;推理和证明.
【分析】正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,利用共得到4095个正方形,借助于求和公式,可求得正方形边长变化的次数,从而利用等比数列的通项公式,即可求最小正方形的边长.
【解答】解:由题意,正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,
现已知共得到4095个正方形,则有
1+2+…+2n﹣1=4095,
∴n=12,
∴最小正方形的边长为×()12﹣1=,
故答案为:
【点评】本题以图形为载体,考查等比数列的求和公式及通项,关键是的出等比数列模型,正确利用相应的公式.
17. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆的直径为,且满足,则______________.
参考答案:
【分析】
先利用余弦定理化简已知得,所以,再利用正弦定理求解.
【详解】由及余弦定理,
得,
得,
得,即,
所以,所以.
由正弦定理,得,
则.
故答案为:
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品
每件B产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元)
20
30
产品重量(千克)
10
5
预计收益(万元)
80
60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.
参考答案:
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件,产品B有y件,我们不难得到关于x,y的不等式组,即约束条件和目标函数,然后根据线行规划的方法不难得到结论.
【解答】解:设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,由题意知,.
作出可行域如图所示.
作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,当直线经过点M时,z取到最大值.
由解得,即M(9,4).
所以zmax=80×9+60×4=960(万元),所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.
19. (本小题满分6分)在直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(Ⅰ)判断点与直线的位置关系,说明理由;
(Ⅱ)设直线与曲线的两个交点为、,求的值.
参考答案:
20. 已知函数f(x)=x3﹣x2+cx+d有极值.
(Ⅰ)求c的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值,且当x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,求d的取值范围.
参考答案:
【考点】函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【专题】计算题.
【分析】(I)由已知中函数解析式f(x)=x3﹣x2+cx+d,我们易求出导函数f′(x)的解析式,然后根据函数f(x)=x3﹣x2+cx+d有极值,方程f′(x)=x2﹣x+c=0有两个实数解,构造关于c的不等式,解不等式即可得到c的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值,则f′(2)=0,求出满足条件的c值后,可以分析出函数f(x)=x3﹣x2+cx+d的单调性,进而分析出当x<0时,函数的最大值,又由当x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,可以构造出一个关于d的不等式,解不等式即可得到d的取值范围.
【解答】解(Ⅰ)∵f(x)=x3﹣x2+cx+d,
∴f′(x)=x2﹣x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2﹣x+c=0有两个实数解,
从而△=1﹣4c>0,
∴c<.
(Ⅱ)∵f(x)在x=2处取得极值,
∴f′(2)=4﹣2+c=0,
∴c=﹣2.
∴f(x)=x3﹣x2﹣2x+d,
∵f′(x)=x2﹣x﹣2=(x﹣2)(x+1),