河南省洛阳市宜阳县实验中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知角α的终边与以坐标原点为圆心,以1为半径的圆交于点P(sin,cos),则角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】任意角的三角函数的定义.
【专题】三角函数的求值.
【分析】直接利用三角函数的定义,求解即可.
【解答】解:角α的终边与以坐标原点为圆心,以1为半径的圆交于点P(sin,cos),
即(,),对应点为(cos,sin).
角α的最小正值为:.
故选:D.
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,考查计算能力.
2. 在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若,,则下列说法错误的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为2的等差数列
参考答案:
D
【分析】
根据题中条件,逐项判断,即可得出结果.
【详解】因为,,
所以,所以,(舍),A正确;
所以,,,,C正确;
又,所以是等比数列,B正确;
又,
所以数列是公差为的等差数列.D错误;
故选D
【点睛】本题主要考查数列的综合应用,熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.
3. 已知,则函数的最大值为( )
A.6 B.13 C.22 D.33
参考答案:
B
4. 已知函数f(x﹣)=sin2x,则f()等于( )
A.
B.﹣
C.
D.﹣
参考答案:
D
考点:函数的值.
专题:函数的性质及应用.
分析:直接利用函数的解析式求解即可.
解答: 解:函数f(x﹣)=sin2x,
则f()=f()=sin(2×)=﹣.
故选:D.
点评:本题考查函数的解析式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力.
5. 函数是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
参考答案:
A
函数y=2sin2(x﹣)﹣1=﹣[1﹣2sin2(x﹣)]=﹣cos(2x﹣)=﹣sin2x,
故函数是最小正周期为=π的奇函数,
故选:A.
6. 下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 若tanα>0,则( )
A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0
参考答案:
C
【考点】GC:三角函数值的符号.
【分析】化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.
【解答】解:∵tanα>0,
∴,
则sin2α=2sinαcosα>0.
故选:C.
8. 设集合,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
9. 已知一个扇形的圆心角为3弧度,半径为4,则这个扇形的面积等于
A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
参考答案:
B
因为扇形的弧长l=3×4=12,则面积S= ×12×4=24,选B.
10. 设全集是实数集,,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点在角的终边上,则 。
参考答案:
0
12. 当x∈(1,3)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣5]
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件,再求解即可.
【解答】解:∵解:利用函数f(x)=x2+mx+4的图象,
∵x∈(1,3)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,
∴,即,
解得m≤﹣5.
∴m的取值范围是(﹣∞,﹣5].
故答案为:(﹣∞,﹣5].
【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题.利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法.
13. 与终边相同的最小正角是_______________。
参考答案:
解析:
14. 若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则实数a的值为 .
参考答案:
2
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】本题要分两种情况进行讨论:①0<a<1,函数y=ax在[0,1]上为单调减函数,根据函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3,求出a②a>1,函数y=ax在[0,1]上为单调增函数,根据函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3,求出a即可.
【解答】解:①当0<a<1时
函数y=ax在[0,1]上为单调减函数
∴函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为1,a
∵函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2(舍)
②当a>1时
函数y=ax在[0,1]上为单调增函数
∴函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为a,1
∵函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2
故答案为:2.
【点评】本题考查了函数最值的应用,但解题的关键要注意对a进行讨论,属于基础题.
15. 若,则 .
参考答案:
16. 若向量满足,则向量的夹角等于
参考答案:
略
17. 已知函数(且)的图象必经过点,则点坐标是__________.
参考答案:
(-1,3)
令得,
故函数的图象必过定点.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知关于的方程与直线.(Ⅰ)若方程表示圆,求的取值范围;(Ⅱ)若圆与直线交于两点,且(为坐标原点),求的值.
参考答案:
解:(I)令
得
的取值范围为……
(II)设
……①
由 消得
……
…… ②
又
……
代入⑤得,
满足②, 故为所求 ……
略
19. (本小题12分)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时。
(1)设在甲中心健身小时的收费为元,在乙中心健身活动小时的收费为 元。试求和;
(2)问:选择哪家比较合算?为什么?
参考答案:
(1), ,........2分
,........6分
(2)当5x=90时,x=18,
即当时, ........7分
当时, ........8分
当时,; ........9分
∴当时,选甲家比较合算;
当时,两家一样合算;
当时,选乙家比较合算. ........12分
20. (本小题满分12分)
已知数列的前项和是,且成等差数列(),.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足求数列的前项和.
(3)函数,设数列满足求数列的前项和.
参考答案:
(1)因为
21. (本小题满分12分)已知函数,求函数的值域.
参考答案:
解: …………………2分
∴ …………………5分
, ∴ …………………7分
∴当时,有; …………………9分
当时,有 …………………11分
∴的值域为 …………………12分
22. 已知圆M上一点A(1,﹣1)关于直线y=x的对称点仍在圆M上,直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线x+y+2=0上的动点,PE、PF是圆M的两条切线,E、F为切点,求四边形PEMF面积的最小值.
参考答案:
【考点】圆的切线方程;直线与圆相交的性质.
【分析】(1)由题意,圆心在直线y=x上,设为(a,a),圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣a)2=r2,代入A的坐标,利用直线x+y﹣1=0截得圆M的弦长为,由此可得结论;
(2)先表示出四边形PEMF面积,再转化为求圆心到直线的距离即可.
【解答】解:(1)由题意,圆心在直线y=x上,设为(a,a),圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣a)2=r2,
则(1﹣a)2+(1﹣a)2=r2,,
解的a=1,r2=4,
圆∴M的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.
(2)由切线的性质知:四边形PEMF的面积S=|PE|?r,
四边形PEMF的面积取最小值时,|PM|最小,即为圆心M到直线x+y+2=0的距离,即|PM|min=,得|PE|min=2.知四边形PEMF面积的最小值为4.