福建省莆田市国欢镇中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1]
C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)
参考答案:
C
略
2.
已知集合,则集合N的真子集个数为( )
A.3;B.4
C.7
D.8
参考答案:
B
3. 函数的导函数,对,都有成立,若,则满足不等式的的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 有4位游客来某地旅游,若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览,则每个景点都有人去游览的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 若命题,命题,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
D
6. 通过随机询问110性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由,算得 附表:
0.050
0.010
0.001[来
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是 ( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
参考答案:
C
【知识点】独立性检验的应用
解析:因为>6.635,∴有0.01=1%的机会错误,即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”,故选C.
【思路点拨】题目的条件中已经给出这组数据的观测值,只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较,发现它大于6.635,得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”.
7. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F,弦AB过点F,且|AB|=8,若AB的倾斜角是α,且cosα是|x﹣1|+|x﹣|的最小值,则p的值为( )
A.1 B.6 C.4 D.3
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用绝对值不等式,求出|x﹣1|+|x﹣|的最小值,可得AB的倾斜角,设出直线AB的方程,与抛物线联立,利用抛物线的定义及弦长公式建立方程,即可得出结论.
【解答】解:由题意,|x﹣1|+|x﹣|≥|x﹣1﹣x+|=,
∵AB的倾斜角是α,且cosα是|x﹣1|+|x﹣|的最小值,
∴α=60°,
设过焦点的直线方程为y=(x﹣),
联立抛物线方程,可得3x2﹣5px+p2=0,
∴x1+x2=p,x1x2=p2,
∴|AB|=x1+x2+p=p=8,
∴p=3.
故选D.
8. 设曲线与抛物线的准线围成的三角形区域
(包含边界)为,为内的一个动点,则目标函数的最大值为( )
. . . .
参考答案:
C
9. 在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则=( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
略
10. 若是幂函数,且满足,则=
A. B. C.2 D. 4
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合A={1,2,4,6,7},B={3,4,5,7},则A∩B= .
参考答案:
{4,7}
考点:交集及其运算.
专题:计算题.
分析:集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用集合A={1,2,4,6,7},集合B={3,4,5,7},能求出集合A∩B.
解答: 解:∵集合A={1,2,4,6,7},
B={3,4,5,7},
∴集合A∩B={4,7}.
故答案为:{4,7}.
点评:本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
12. 双曲线2x2﹣y2=1的离心率为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】直接利用双曲线方程求出a、c,然后求解离心率.
【解答】解:由双曲线2x2﹣y2=1可知:a=,b=1,∴c==,
双曲线的离心率为:.
故答案为:.
【点评】本题考查双曲线方程的应用,离心率的求法,考查计算能力.
13. 已知“”为“”的一个全排列,设是实数,若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有 个
参考答案:
224
14. 在长方体中ABCD—A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°,则异面直线和所成的角的余弦值为 .
参考答案:
15. 若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线,也是曲线y=ex+1的切线,则b= .
参考答案:
4﹣2ln2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和,分别求出切点处的直线方程,由已知切线方程,可得方程组,解方程可得切点的横坐标,即可得到b的值.
【解答】解:设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和,
则切线分别为,,
化简得:,,
依题意有:,
所以.
故答案为:4﹣2ln2.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求得导数和设出切点是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.
16. 已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,则a的取值范围为 .
参考答案:
[0,8]
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】由题意设g(x)=f(x)+2x,(x>0),g(x)是增函数,即g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,求出a的取值范围.
【解答】解:令g(x)=f(x)+2x=ax2﹣ax+lnx,(x>0);
由题意知g(x)在(0,+∞)单调递增,
所以g'(x)=2ax﹣a+≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2ax2﹣ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立;
令h(x)=2ax2﹣ax+1,(x>0);
则①若a=0,h(x)=1≥0恒成立,
②若a<0,二次函数h(x)≥0不恒成立,舍去
③若a>0,二次函数h(x)≥0恒成立,
只需满足最小值h()≥0,
即﹣+1≥0,解得0<a≤8;
综上,a的取值范围是[0,8].
故答案为:[0,8].
17. 如图,已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为 .
参考答案:
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算,及椭圆的简单性质,由F1、F2是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,连接OQ,F1P后,我们易根据平面几何的知识,根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1,并由此得到椭圆C的离心率.
【解答】解:连接OQ,F1P如下图所示:
则由切线的性质,则OQ⊥PF2,
又由点Q为线段PF2的中点,O为F1F2的中点
∴OQ∥F1P
∴PF2⊥PF1,
故|PF2|=2a﹣2b,
且|PF1|=2b,|F1F2|=2c,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
得4c2=4b2+4(a2﹣2ab+b2)
解得:b=a
则c=
故椭圆的离心率为:
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数。
(1)若b=0,讨论函数在区间(0,)上的单调性;
(2)若a=2b且对任意的x≥0,都有f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围。
参考答案:
(1)b=0时,,则, 1分
当时,,所以函数在区间(0,)上单调递减; 2分
当时,所以函数在区间(0,)上单调递增; 3分
当时,存在,使得,即, 4分
时,,函数在区间(0,)上单调递增, 5分
时,,函数在区间(,)上单调递减。 6分
(2)a=2b时,,
恒成立,等价于, 7分
记,则, 8分
当,即时,,g(x)在区间上单调递减,
所以当时,,即恒成立; 10分
当,即时,记,则,
存在,使得,
此时时,,单调递增,,即,
所以,即,不合题意; 12分
当时,,不合题意; 13分
综上,实数a的取值范围是 14分
19. 设数列{an}的前n项和为Sn,
(I)求证: 数列{an}是等差数列;
(II)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
参考答案:
解:(I)由
得
即
是以1为首项,4为公差的等差数列…………6分
(II)
…………12分
略
20. (本小题满分12分)为了解某班学生关注NBA是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表:
已知在全班48人中随机抽取一人,抽到关注NBA的学生的概率为.
(l)请将上面的列表补充完整(不用写计算过程),并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关?说明你的理由.
(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查,设其中关注NBA的人数为X,求X的分布列与数学期望.
下面的临界值表仅供参考:
参考答案:
21. 已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案:
函数的定义域为,
. …………………………………………………1分
(Ⅰ)当时,函数,,.
所以曲线在点处的切线方程为,
即.………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)函数的定义域为.
(1)当时,在上恒成立,
则在上恒成立,此时在上单调递减. ……………5分
(2)当时,,
(ⅰ)若,
由,即,得或; ………………6分
由,即,得.………………………7分
所以函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为. ……………………………………8分
(ⅱ)若,在上恒成立,则在上恒成立,此时 在上