湖南省常德市董家当中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数(i是虚数单位),它的实部和虚部的和是( )
A.4 B.6 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的除法法则,把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得到.
【解答】解:∵===,
∴它的实部和虚部的和==2.
故选C.
2. 函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 若函数的图象关于直线及直线对称,且时,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 设实数x、y满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设函数,若不等式有正实数解,则实数的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
参考答案:
D
7. 已知向量 ( )
A.-3 B.3 C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知和,若,则||=( )
A.5 B.8 C. D.64
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得x+2﹣2x=0,解方程可得x,即可求出||.
【解答】解:∵和,,
∴x+2﹣2x=0,
解得x=2,
∴||=|(5,0)|=5.
故选:A.
9. 已知向量,则“”是“”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
10. 已知平面向量,,且,则=
A. B. C. 5 D. 13
参考答案:
B
【分析】
根据向量平行求出x的值,结合向量模长的坐标公式进行求解即可.
【详解】且 ,则
故
故选B.
【点睛】本题考查向量模长的计算,根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,则不等式的解集是__________.
参考答案:
12. 已知函数若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是__________________.
参考答案:
略
13. (x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等于 .(用数值作答)
参考答案:
280
【考点】DC:二项式定理的应用.
【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识,求得展开式中x3yz4的系数.
【解答】解:(x+y+z)8的展开式表示8个因式(x+y+z)的积,
故展开式中项x3yz4,即这8个因式中任意选出3个取x,从剩下的5个中任意选4个取z,最后的一个取y,即可得到含项x3yz4的项,
故x3yz4的系数为等于??=280,
故答案为:280.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题
14. 函数(,), 有下列命题:
①的图象关于y轴对称;
②的最小值是2 ;
③在上是减函数,在上是增函数;
④没有最大值.
其中正确命题的序号是 . (请填上所 有正确命题的序号)
参考答案:
①④
15. 若实数且,则 , .
参考答案:
16. 已知抛物线C:的焦点为F,准线为l,抛物线C有一点P,过点P作,垂足为M,若等边的面积为,则p= .
参考答案:
2
设准线l和x轴交于N点,PM平行于x轴, 由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故
故答案为:2.
17. 在边长为的正方形中, 动点和分别在边和上, 且
,则的最小值为 .
参考答案:
考点:向量的几何运算和数量积公式及的运用.
【易错点晴】本题考查的是向量的几何形式为背景的数量的最小值问题.解答时充分借助题设条件和向量运算的三角形法则,将向量表示为;将向量表示为
,这是解答好本题的关键.然后运用向量的乘法运算建立关于为变量的目标函数,在求该函数的最小值时,巧妙地运用了基本不等式这一重要工具.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数,为函数的极值点.
(1)若为函数的极大值点,求的单调区间(用表示);
(2)若函数恰有一个零点,求实数的取值范围.
参考答案:
【点评】:本题属于导数问题的中档题,主要考查导数和函数单调性、零点问题,涉及的主要思路是对参数范围的分类讨论,其中的正负问题用到构造函数再求导分析,难度不大.
解:由题意可得:定义域为
且为极值点,
故 且 ()
(1)为函数的极大值点
当时,的单调递增;
时,的单调递减;
时,的单调递增.
(2)①若时,在的单调递减;在时单调递增
恰有一个零点,
②若时,
在单调递增;在单调递减;在单调递增.
为极大值点 为极小值点
又 恰有一个零点
③若时,
在单调递增;在单调递减;在单调递增.
为极大值点 为极小值点
设 则,故
又 恰有一个零点
综上所述:若函数恰有一个零点,则实数
19. [选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)
(10分)已知直线l的参数方程:(t为参数),曲线C的参数方程: (α为参数),且直线交曲线C于A,B两点.
(Ⅰ)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求θ=时,|AB|的长度;
(Ⅱ)已知点P:(1,0),求当直线倾斜角θ变化时,|PA|?|PB|的范围.
参考答案:
【分析】(Ⅰ)利用三角函数的平方关系式,将曲线C的参数方程化为普通方程,求出直线AB的方程,代入,可得3x2﹣4x=0,即可求出|AB|的长度;
(Ⅱ)直线参数方程代入,A,B对应的参数为t1,t2,则|PA|?|PB|=﹣t1t2,即可求出|PA|?|PB|的范围.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C的参数方程:(α为参数),曲线C的普通方程为.
当θ=时,直线AB的方程为,y=x﹣1,
代入,可得3x2﹣4x=0,∴x=0或x=
∴|AB|=?= ;
(Ⅱ)直线参数方程代入,得(cos2θ+2sin2θ)t2+2tcosθ﹣1=0.
设A,B对应的参数为t1,t2,∴|PA|?|PB|=﹣t1t2==∈[,1].
【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程,熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键.
20. (本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值;
(II)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度平均保费的估计值.
参考答案:
(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为,
故P(A)的估计值为0.55.
(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为,
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由所给数据得:
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+ a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
21. 已知AB和CD是曲线C:(t为参数)的两条相交于点P(2,2)的弦,若AB⊥CD,且|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线;
(2)试求直线AB的方程.
参考答案:
【考点】QI:参数方程的优越性;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)直接消去参数t,可得曲线C的普通方程,说明曲线特征即可.
(2)直线AB和CD的倾斜角为α、β,求出直线AB和CD的参数方程,与y2=4x联立,由t的几何意义以及韦达定理,通过由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.AB⊥CD求出直线AB的倾斜角,得到直线AB的方程.
【解答】解:(1)曲线C:(t为参数)消去t可得y2=4x,轨迹是顶点在原点对称轴为x轴,焦点为(1,0)的抛物线.
(2)设直线AB和CD的倾斜角为α、β,
则直线AB和CD的参数方程分别为:…①和…②,
把①代入y2=4x中的:t2sin2α+(4sinα﹣4cosα)t﹣4=0,…③
依题意可知sinα≠0且方程③的△=16(sinα﹣cosα)2+16sin2α>0
∴方程③有两个不相等的实数根t1,t2
则t1?t2=…④,
由t的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,
|PA|?|PB|=|t1?t2|=…⑤,
同理,|PC|?|PD|=…⑥,
由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|.
可知:即sin2α=sin2β,∵0≤α,β<π.
∴α=π﹣β,∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90°
∴直线AB的倾斜角为或.
∴kAB=1或﹣1,故直线AB的方程为:y=x或x+y﹣4=0.
【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化,参数方程的几何意义是解题的关键,体现参数方程的优越性.
22. 某企业去年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数).
(Ⅰ)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元(须扣除技术改造资金),求、的表达式;
(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
参考答案:
(Ⅰ)依题意知,数列是一个以500为首项,-20为公差的等差数列,所以,
=
=
=
(Ⅱ)依题意得,,即,
可化简得,
可设,
又,可设是减函数,是增函数,
又
则时不等式成立,即4年