2022-2023学年河南省商丘市应天中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象可能是( )
参考答案:
D
略
2. 以下赋值语句书写正确的是( )
A.2=a B.a=a+1 C.a*b=2 D.a+1=a
参考答案:
B
【考点】输入、输出语句.
【专题】算法和程序框图.
【分析】根据赋值语句的格式,逐一进行分析,即可得到答案.
【解答】解:由赋值语句的格式我们可知,
赋值语句的赋值号左边必须是一个变量,而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同.
A中左侧是常数,不是变量,格式不对;
B中满足赋值语句的格式与要求,正确;
C与D中左侧是运算式,不对;
故选:B.
【点评】本题考查赋值语句,通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可,属于基础题.
3. 已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 双曲线的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2的直径的两圆一定( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.相离
参考答案:
B
略
5. 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“红色骰子点数为3”,事件B为“蓝色骰子出现的点数是奇数”,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 对于每一个整数n,抛物线与轴交于两点表示该两点间的距离,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 设A、B∈R,A≠B,且A·B≠0,则方程和方程在同一坐标系下的图象大致是
参考答案:
B
8. 在等差数列中,若,则( )
(A)45 (B)90 (C)180 (D)270
参考答案:
C
9. 设,则是 的( )
A 既不充分也不必要条件 B必要但不充分条件
C充要条件 D充分但不必要条件
参考答案:
D
略
10. 若是互不相同的空间直线,是不重合的平面,则下列命题中真命题是( )
A. 若则
B. 若 则
C. 若,,则
D. 若,,则
参考答案:
C
【分析】
对于A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理;
对于B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理;
对于C,考虑面面垂直的判定定理;
对于D,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.
【详解】选项A中,除平行外,还有异面的位置关系,则A不正确;
选项B中,与位置关系有相交、平行、在内三种,则B不正确;
选项C中,由,设经过的平面与相交,交线为,则,又,故,又,所以,则C正确;
选项D中,与的位置关系还有相交和异面,则D不正确;
故选C.
【点睛】该题考查的是有关立体几何问题,涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系,面面平行的性质,线面垂直的判定,面面垂直的判定和性质,属于简单题目.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数a,b ▲ ”.
参考答案:
都不是奇数
用反证法证明数学命题时,应先假设要证的命题的反面成立,
即要证的命题的否定成立,
而命题:“自然数至少有1个奇数”的否定为: “自然数没有奇数或全是偶数”,
只要意思正确即可.
12. 设集合,,当时,则实数的取值范围为 ▲ .
参考答案:
13. 若函数,则=
参考答案:
2
14. Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上,两直角边的长分别为6和8,则球心到平面ABC的距离是 .
参考答案:
12
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】利用已知条件可计算出Rt△ABC的斜边长,根据斜边是Rt△ABC所在截面的直径,进而可求得球心到平面ABC的距离.
【解答】解:Rt△ABC的斜边长为10,Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上,
∴斜边是Rt△ABC所在截面圆的直径,
球心到平面ABC的距离是d=.
故答案为:12.
15. 已知点P是椭圆Г: =1(a>b>0)上的一点,F1、F2为椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,且△PF1F2的面积为a2,则椭圆的离心率是 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为a2,可得|PF1|?|PF2|.再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,利用余弦定理得到a,c的关系,即可求出椭圆的离心率.
【解答】解:由∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为a2,可得|PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2=|PF1|?|PF2|=a2,
∴|PF1|?|PF2|=a2.
再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a.
再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|?cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣3PF1?PF2=4a2﹣3a2,
求得a=2c,∴e==.
故答案为:.
16. 函数在区间[0,1]的单调增区间为__________.
参考答案:
,(开闭都可以).
【分析】
由复合函数的单调性可得:,解得函数的单调增区间为(),对的取值分类,求得即可得解。
【详解】令()
解得:()
所以函数的单调增区间为()
当时,=
当时,
当取其它整数时,
所以函数在区间的单调增区间为,
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解,还考查了分类思想及计算能力,属于中档题。
17. 如图,空间四边形ABCD中,若AD=4, BC=4,E、F分别为
AB、CD中点,且EF=4,则AD与BC所成的角是_________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x﹣1(x∈R)与两坐标轴有三个交点,其中与x轴的交点为A,B.经过三个交点的圆记为C.
(1)求圆C的方程;
(2)设P为圆C上一点,若直线PA,PB分别交直线x=2于点M,N,则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点?请证明你的结论.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得x2+Dx+F=0,由题意求出D、F,求出f(0)的值后代入圆的方程求出F,可得圆C的方程;
(2)由f(x)=0得求出A、B的坐标,由条件设出PA、PB的方程和点M、N的坐标,由结论求出MN为直径的圆方程,根据点P的任意性列出方程组,求出定点的坐标即可.
【解答】解:(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
令y=0得x2+Dx+F=0,则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程,
所以D=2,F=﹣1,
由f(x)=x2+2x﹣1得,f(0)=﹣1,
令x=0 得y2+Ey+F=0,则此方程有一个根为﹣1,
代入解得E=0,
所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0; …6分
(2)由f(x)=x2+2x﹣1=0得,x=或x=,
不妨设A(,0),B(,0),
设直线PA的方程:y=k(x++1),
因以MN为直径的圆经过线段AB上点,
所以直线PB的方程:,
设M(2,k(3+)),N(2,),
所以MN为直径的圆方程为,
化简得,,
由P点任意性得:,解得x=,
因为,所以x=,
即过线段AB上一定点(,0)…16分.
19. 已知点F(0, 1),直线: ,圆C: .
(Ⅰ) 若动点到点F的距离比它到直线的距离小1,求动点的轨迹E的方程;
(Ⅱ) 过轨迹E上一点P作圆C的切线,切点为A、B,当四边形PACB的面积S最小时,求点P的坐标及S的最小值。
参考答案:
(Ⅰ)设是轨迹E上任一点,依条件可知且
,平方、化简得
(Ⅱ)四边形PACB的面积
∵
∴要使S最小,只须最小
设,则
∴
故当时有最小值
∴P点的坐标是的最小值是.
略
20. 已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(0,1),
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线l交抛物线于A,B两点,若直线AO,BO分别与直线y=x﹣2交于M,N两点,求|MN|的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.
【专题】方程思想;设而不求法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)设抛物线的方程为x2=2py,由题意可得p=2,进而得到抛物线的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,运用韦达定理,求得M,N的横坐标,运用弦长公式,化简整理,即可得到所求范围.
【解答】解:(1)由题意可设抛物线的方程为x2=2py,
由焦点为F(0,1),可得=1,即p=2,
则抛物线的方程为x2=4y;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=kx+1,代入x2=4y,得
x2﹣4kx﹣4=0,x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
,
由y=x﹣2和y=x联立,得,同理,
所以=,
令4k﹣3=t,t≠0,则,
则,
则所求范围为.
【点评】本题考查抛物线的方程的求法,注意运用待定系数法,考查直线方程和抛物线的方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的能力,属于中档题.
21. (本题满分15分)如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左右焦点分别为,线段、的中点分别为,且△ 是面积为的直角三角形。(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于,两点,
使,求直线的方程。
参考答案:
故椭圆离心率为:, 椭圆方程: ……………6分
22. (本小题12分)
已知△ABC三边所在直线方程为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,
CA:2x+y-2=0,求AC边上的高所在的直线方程.
参考答案:
由解得交点B(-4,0),……………5fen
.……………10fen
∴AC边上的高线BD的方程 为
…………15fen