河南省郑州市第三中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P是椭圆=1上任意一点,则点P到直线AB距离的最大值是 ( )
A B. 3. C. . D. 0.
参考答案:
A
2. 如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 导数的几何意义;直线的倾斜角.
专题: 计算题.
分析: 由二次函数的图象可知最小值为,再根据导数的几何意义可知k=tanα≥,结合正切函数的图象求出角α的范围.
解答: 解:根据题意得f′(x)≥
则曲线y=f(x)上任一点的切线的斜率k=tanα≥
结合正切函数的图象
由图可得α∈
故选B.
点评: 本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角,同时考查了数形结合法的应用,本题属于中档题.
3. 已知双曲线 ( , )的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞)
参考答案:
C
已知双曲线双曲线 ( , )的右焦点为 ,若过点 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,
,离心率
,故选C
【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.
4. 在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】首先进行复数的乘法运算,得到复数的代数形式的标准形式,根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标,看出所在的象限.
【解答】解:∵复数z=i(2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i
∴复数对应的点的坐标是(1,2)
这个点在第一象限,
故选A.
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,本题解题的关键是写成标准形式,才能看出实部和虚部的值.
5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
温馨提示:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=95.44%
A.7614 B.6587 C.6359 D.3413
参考答案:
B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.
【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000﹣10000×0.3413=10000﹣3413=6587,
故选:B.
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.
6. 函数y=1+3x﹣x3有( )
A.极小值﹣1,极大值3 B.极小值﹣2,极大值3
C.极小值﹣1,极大值1 D.极小值﹣2,极大值2
参考答案:
A
【考点】函数在某点取得极值的条件.
【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案.
【解答】解:∵y=1+3x﹣x3,
∴y′=3﹣3x2,
由y′=3﹣3x2>0,得﹣1<x<1,
由y′=3﹣3x2<0,得x<﹣1,或x>1,
∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是(﹣1,1),减区间是(﹣∞,﹣1),(1,+∞).
∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f(﹣1)=1﹣3﹣(﹣1)3=﹣1,
函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f(1)=1+3﹣13=3.
故选A.
7. 观察下面的演绎推理过程,判断正确的是 ( )
大前提:若直线a⊥直线l,且直线b⊥直线l,则a∥b.
小前提:正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥AA1,且AD⊥AA1.
结论:A1B1∥AD.
A.推理正确 B.大前提出错导致推理错误
C.小前提出错导致推理错误 D.仅结论错误
参考答案:
B
8. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x﹣y|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】由题意知这组数据的平均数为10,方差为2可得到关于x,y的一个方程组,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y,只要求出|x﹣y|,利用换元法来解出结果.
【解答】解:由题意这组数据的平均数为10,方差为2可得:x+y=20,(x﹣10)2+(y﹣10)2=8,
解这个方程组需要用一些技巧,
因为不要直接求出x、y,只要求出|x﹣y|,
设x=10+t,y=10﹣t,由(x﹣10)2+(y﹣10)2=8得t2=4;
∴|x﹣y|=2|t|=4,
故选D.
9. 已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
10. 若是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是:( )
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆心为C,半径为3的圆的极坐标方程
参考答案:
略
12. 设为实数,且,则 .
参考答案:
4
略
13. 设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=___________。
参考答案:
35
14. 某射击运动员在一次射击测试中射击6次,每次命中的环数为:7,8,7,9,5,6.则其射击成绩的方差为_____________.
参考答案:
略
15. 设U为全集,A、B是U的子集,则“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的 条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
参考答案:
充要条件
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:简易逻辑.
分析:根据充分条件和必要条件的定义结合集合关系进行判断即可.
解答: 解:若存在集合C使得A?C,B??UC,则可以推出A∩B=?;
若A∩B=?,由Venn图(如图)可知,
存在A=C,同时满足A?C,B??UC.
故“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件.
故答案为:充要条件
点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键.
16. 用辗转相除法求和的最大公约数为___________.
参考答案:
81
略
17. 已知点A(﹣1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则向量与的夹角的余弦值为 .
参考答案:
﹣
【考点】M6:空间向量的数量积运算.
【分析】先求出向量,,利用cos<>=,能求出向量与的夹角的余弦值.
【解答】解:∵点A(﹣1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),
∴=(1,0,0),=(﹣2,﹣2,1),
∴cos<>===﹣.
∴向量与的夹角的余弦值为﹣.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中综合污染指数与时间x(小时)的关系为=||+2a,,其中a为与气象有关的参数,且.若将每天中的最大值作为当天的综合污染指数,并记作M(a) .
(Ⅰ)令t=,,求t的取值范围;
(Ⅱ) 求函数M(a)的解析式;
(Ⅲ) 为加强对环境污染的整治,市政府规定每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合污染指数是否超标?
参考答案:
解析:(Ⅰ):因为,所以,所以,故.
(Ⅱ)因为,所以,
..
当时,;
当,.
而,
当,,;
当,,.
所以,
(Ⅲ)由(Ⅱ)知的最大值为,它小于2,所以目前市中心的综合污染指数没有超标
19. (改编题)设.
(1)若以作为矩形的边长,记矩形的面积为,求的概率;
(2)若求这两数之差不大于2的概率。
参考答案:
解(1)若则所有的结果为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9个,满足的所有的结果为1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),
(2,3),(3,1),共5个,故的概率为.
(2)所有的结果的区域为两个之差不大于2的所有结果的区域为则
.
略
20. 已知函数f(x)=(a、b为常数),且f(1)=,f(0)=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)判断函数f(x)在定义域上的奇偶性,并证明;
(Ⅲ)对于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m?4x恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)运用代入法,得到a,b的方程,解得a,b,可得f(x)的解析式;
(Ⅱ) 函数f(x)为奇函数.运用奇函数的定义,即可得证;
(Ⅲ)f(x)(2x+1)<m?4x恒成立,即为2x﹣1<m?4x,运用参数分离和换元法,结合指数函数和二次函数的值域,可得右边的最大值,即可得到m的范围.
【解答】解:(Ⅰ)由已知可得,,
解得a=1,b=﹣1,
所以;
(Ⅱ) 函数f(x)为奇函数.
证明如下:f(x)的定义域为R,
∵,
∴函数f(x)为奇函数;
(Ⅲ)∵,∴,
∴2x﹣1<m?4x
∴=g(x),
故对于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m?4x恒成立等价于m>g(x)max
令,则y=t﹣t2,
则当时,
故,
即m的取值范围为.
【点评】本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,抽象概括能力,考查化归的思想.
21. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q,且|PF|=2|PQ|
(1)求抛物线的方程;
(2)过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D,求四边形ACBD面积的最小值.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程,以及P,Q的坐标,运用抛物线的定义和两点的距离公式,解方程可得p=4,进而得到抛物线的方程;
(2)设AB:x=my+2,CD:x=﹣y+2(m≠0),联立抛物线方程,消去x,得到y的方程,运用韦达定理和弦长公式可得|AB|,|CD|,由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|,运用基本不等式即可得到所求最小值.
【解答】解:(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(