辽宁省辽阳市农场中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 现有两个推理:①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”;
②由“若数列为等差数列,则有成立”类比“若数列为等比数列,则有成立”,则得出的两个结论
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. 都正确 D. 都不正确
参考答案:
C
2. i是虚数单位,复数=( )
A. 1+2i B. 2+4i C. -1-2i D. 2-i
参考答案:
A
略
3. 原点到直线的距离为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
,故选.
4. 抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】先确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标,再由题中条件求出双曲线的渐近线方程,再代入点到直线的距离公式即可求出结论.
【解答】解:抛物线y2=8x的焦点在x轴上,且p=4,
∴抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),
由题得:双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0,
∴F到其渐近线的距离d==.
故选:B.
5. 双曲线的两条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.或 D.或
参考答案:
C
6. 若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f(x)的单调递增区间为( )
A.(﹣1,0) B.(﹣1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
C
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】确定函数的定义域,求出导函数,令导数大于0,即可得到f(x)的单调递增区间.
【解答】解:函数的定义域为(0,+∞)
求导函数可得:f′(x)=2x﹣2﹣,
令f′(x)>0,可得2x﹣2﹣>0,∴x2﹣x﹣2>0,∴x<﹣1或x>2
∵x>0,∴x>2
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞)
故选C.
7. 算法的有穷性是指( )
A. 算法必须包含输出 B.算法中每个操作步骤都是可执行的
C. 算法的步骤必须有限 D.以上说法均不正确
参考答案:
C
8. 设,则是 的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
9. 方程表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆
参考答案:
B 解析:对分类讨论得两种情况
10. 椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )
A. B. C.2 D.4
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 现有12件不同类别的商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是_______种(用数字作答).
参考答案:
840
12. 与直线x – 3 y = 0和3 x – y = 0相切,且过点A( 11,– 7 )的圆的方程是 。
参考答案:
( x – 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 = 40或( x – 85 ) 2 + ( y + 85 ) 2 = 11560
13. 若复数为纯虚数,则t的值为 ▲ 。
参考答案:
14. 把一个长方体切割成个四面体,则的最小值是 .
参考答案:
;解析:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明个不够,若为个,因四面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积,且这四个三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,其高,故四个不同的四面体的体积之和,不合;
所以,另一方面,可将单位正方体切割成个四面体; 例如从正方体
中间挖出一个四面体,剩下四个角上的四面体,
合计个四面体.
15. P是椭圆上的点,F1、F2 是两个焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是______.
参考答案:
5
16. 某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为,那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
参考答案:
略
17. (文)数列的前n项和,则=___________
参考答案:
-3 ≤x≤1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆焦点在x轴上,下顶点为D(0,﹣1),且离心率.经过点M(1,0)的直线L与椭圆交于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求|AM|的取值范围.
(Ⅲ)在x轴上是否存在定点P,使∠MPA=∠MPB.若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)设椭圆方程为由已知得,又a2=b2+c2,∴a2=3,b2=1,
(Ⅱ) 设A(x1,y1),用x1,y1表示|AM|,再利用,求出|AM|的最小值.
(Ⅲ)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,B(x2,y2).当直线L的斜率存在时,设直线L方程为:y=k(x﹣1)由消去y整理得,(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,由∠MPA=∠MPB得kPA+kPB=0,即可.
【解答】解:(Ⅰ)设椭圆方程为由已知得,
又a2=b2+c2,∴a2=3,b2=1,即椭圆方程为…
(Ⅱ) 设A(x1,y1),
即,
又,得
∴所以当x1=时,|AM|的最小值为…6分
(Ⅲ)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,B(x2,y2).
当直线L的斜率存在时,设直线L方程为:y=k(x﹣1)
由消去y整理得,(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0…
由∠MPA=∠MPB得kPA+kPB=0,即,…
又y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1)即=0.
,
即m=3,P(3,0)
当直线L的斜率不存在时,也满足条件.
∴定点P坐标为(3,0)…
19. 在篮球比赛中,如果某位球员的得分,篮板,助攻,抢断,盖帽中有两个值达到或以上,就称该球员拿到了两双.下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计:
场次
得分
篮板
助攻
抢断
盖帽
()从上述比赛中任选场,求该球员拿到“两双”的概率.
()从上述比赛中任选场,设该球员拿到“两双”的次数为,求的分布列及数学期望.
()假设各场比赛互相独立,将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率,设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为,试比赛与的大小关系(只需写出结论).
参考答案:
().
()的分布列为
期望.
().
()由题意,第,场次符合“两双”要求,
共有场比赛,场符合要求,所求概率.
()的取值有,,,
,
,
,
的分布列为
期望.
(),,,,
,
,
,
,
,
∴.
20. 若、是两个不共线的非零向量,
(1)若与起点相同,则实数t为何值时,、t、三个向量的终点A,B,C在一直线上?
(2)若||=||,且与夹角为60°,则实数t为何值时,||的值最小?
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用.
【分析】(1)由三点A,B,C共线,必存在一个常数t使得,由此等式建立起关于λ,t的方程求出t的值;
(2)由题设条件,可以把||的平方表示成关于实数t的函数,根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值.
【解答】解:(1),,
∵,即
∴,可得∴;
故存在t=时,A、B、C三点共线;
(2)设||=||=k
||2=||2+t2||2﹣2t||||cos60°=k2(t2﹣t+1)=k2(t﹣)2+,
∴时,||的值最小.
21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为 (,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M(1,)对应的参数j =,曲线C2过点D(1,).
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
(2)若点A( r 1,q ),B( r 2,q +) 在曲线C1上,求的值.
参考答案:
22. 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(Ⅰ)求圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆与直线交于点、,若点的坐标为,求.
参考答案: