辽宁省丹东市第二十五中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,那么( )
A.命题p与命题q的真值相同 B.命题p一定是真命题
C.命题q不一定是真命题 D.命题q一定是真命题
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】阅读型.
【分析】根据命题和其否定真假性相反,判定出p的真假,结合“或”命题真假确定q的真假.对照选项即可.
【解答】解:命题¬p是真命题,则p是假命题.
又命题pvq 是真命题,所以必有q是真命题.
故选D.
【点评】本题考查复合命题真假性的判定及应用.复合命题真假一般转化成基本命题的真假.
2. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第个三角形数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知ξ的分布列如下:
1
2
3
4
并且,则方差( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 设a,b都是不等于1的正数,则“loga2< logb2”是“2a>2b>2”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解即可,再利用充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由“”,
得<,
得:<0,
得b>1>a或a>b>1或0<b<a<1,
由2a>2b>2,得:a>b>1,
故“”是“2a>2b>2”的必要不充分条件,
故选:C.
【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查了不等式的性质,是基础题.
5. 函数的最小正周期是--------------------------------( )
A B C D
参考答案:
D
略
6. 已知函数的定义域是,则的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 某产品40件,其中有次品数3件,现从中任取2件,则其中至少有一件次品的概率是( )
A.0.146 2 B.0.153 8 C.0.996 2 D.0.853 8
参考答案:
A
8. 已知函数的定义域为R.当时,;当时,;当时,.则( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
参考答案:
D
试题分析:当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D.
考点:函数的周期性和奇偶性.
9. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
参考答案:
C
10. 设为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且,则的面积是( *** )
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的焦点为F,点P在C上,△PFA为正三角形,则p= .
参考答案:
【分析】根据抛物线的焦点,结合等边三角形的性质,运用中点坐标公式,求出P的坐标,代入抛物线的方程,解方程可得p的值.
【解答】解:抛物线C:y2=2px(0<p<4)的焦点为F(,0),
可得|AF|=4﹣,
由△PFA为等边三角形,可得P((4+),(4+)),
代入抛物线的方程,可得(4+)2=2p?(4+),
化为5p2+112p﹣192=0,
解得p=或﹣24(舍去),
故答案为:.
12. 等差数列{an}的前n项和.则此数列的公差d=_______.
参考答案:
2
【分析】
利用等差数列前n项和,求出的值,进而求出公差.
【详解】当时,,
当时,,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用数列的前项和求数列的公差,考查基本运算求解能力,属于容易题.
13. 如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 .
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】由相交弦定理求出FC,由相似比求出BD,设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD?AD求解.
【解答】解:由相交弦定理得到AF?FB=EF?FC,即3×1=×FC,FC=2,在△ABD中AF:AB=FC:BD,即3:4=2:BD,BD=,
设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD?AD,即x?4x=()2,x=
故答案为:
14. 设函数,,不等式对恒成立,则的取值集合是 .
参考答案:
15. .
参考答案:
略
16. 已知是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若,,则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的序号有________.
参考答案:
①④
17. 空间向量, ,且,则 .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
(Ⅰ)因为,所以,………………1分
由于,所以,………………4分
所以.…………………………6分
(Ⅱ)原式.………………………9分
.……………12分
19. (本题满分16分)已知函数 ,其中
(1)判断并证明在上的单调性;
(2)若存在,使,则称为函数的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求实数的值,并求出不动点;
(3)若存在使成立 , 求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)在上增函数 ……………………………………………2分
证明:,设
∵ ∴
∴,函数在上单调递增.………………………5分
(2)令,
令(负值舍去) ………………………………………7分
将代入得 ……10分
(3)由题意存在使成立,
即 存在使成立,
也就要存在使成立,
化简得 , …………………………………………13分
由于,时取等号
所以且解得 ……………………………………………………16分
20. 已知圆C的方程为.
(Ⅰ)求圆C的半径及圆心坐标;
(Ⅱ)求经过点(0,6)且与圆C相切的直线l的方程.
参考答案:
略
21. 已知椭圆C1: +x2=1(a>1)与抛物线C:x2=4y有相同焦点F1.
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
(Ⅱ)已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2,且与抛物线C2相切于第一象限的点A,设平行l1的直线l交椭圆C1于B,C两点,当△OBC面积最大时,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.
【分析】(Ⅰ)求出抛物线的F1(0,1),利用椭圆的离心率,求出a、b即可求解椭圆方程.
(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线l1的斜率必存在,联立方程组,利用相切求出k,然后利用直线的平行,设直线l的方程为y=x+m联立方程组,通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积,然后得到所求直线l的方程.
【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线x2=4y的焦点为F1(0,1),
∴c=1,又b2=1,∴
∴椭圆方程为: +x2=1. …
(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线l1的斜率必存在,
设直线l1:y=kx﹣1
由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0
∵直线l1与抛物线C2相切于点A.
∴△=(﹣4k)2﹣4×4=0,得k=±1.…
∵切点A在第一象限.
∴k=1…
∵l∥l1
∴设直线l的方程为y=x+m
由,消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0,…
△=(2m)2﹣12(m2﹣2)>0,
解得.
设B(x1,y1),C(x2,y2),则, .…
又直线l交y轴于D(0,m)
∴…
=
当,即时,.…
所以,所求直线l的方程为.…
22. 已知函数f(x)=lnx﹣x+1.
(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)证明:不等式lnx≤x﹣1恒成立.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(1),f(1),求出切线方程即可;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值,证出结论即可.
【解答】解:(1)f′(x)=,(x>0),
∴f′(1)=0,f(1)=0,
故切线方程是:y=0;
(2)证明:由(1)令f′(x)>0,解得:x<1,
令f′(x)<0,解得:x>1,
故f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
∴f(x)的最大值是f(1)=0,
∴f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,
即lnx≤x﹣1恒成立.