辽宁省沈阳市东旭高级中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题错误的是( )
A.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”
B.若命题,则¬p:?x∈R,x2﹣x+1>0
C.△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要条件
D.若向量,满足?<0,则与的夹角为钝角
参考答案:
D
考点:命题的真假判断与应用.
专题:综合题.
分析:A.我们知道:命题“若p,则q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,同时注意“x=y=0”的否定是“x,y中至少有一个不为0”,据此可以判断出A的真假.
B.依据“命题:?x0∈R,结论p成立”,则¬p为:“?x∈R,结论p的反面成立”,可以判断出B的真假.
C.由于,因此在△ABC中,sinA>sinB?>0?A>B.由此可以判断出C是否正确.
D.由向量,可得的夹角,可以判断出D是否正确.
解答:解:A.依据命题“若p,则q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,可知:命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”.可判断出A正确.
B.依据命题的否定法则:“命题:?x0∈R,﹣x0+1≤0”的否定应是“?x∈R,x2﹣x+1>0”,故B是真命题.
C.由于,在△ABC中,∵0<A+B<π,∴0,∴,
又0<B<A<π,∴0<A﹣B<π,∴,∴.
据以上可知:在△ABC中,sinA>sinB?>0?A>B.故在△ABC中,sinA>sinB是A>B的充要条件.
因此C正确.
D.由向量,∴,∴的夹角,
∴向量与的夹角不一定是钝角,亦可以为平角π,∴可以判断出D是错误的.
故答案是D.
点评:本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角,解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识.
2. 如图,在圆O中,若弦AB=3,弦AC=5,则·的值( )
A. -8 B. -1 C. 1 D. 8
参考答案:
D
3. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1,a3,a4成等比数列,则的值为( )
A.1或2 B. C.2 D.或2
参考答案:
D
考点:等差数列的前n项和.
专题:等差数列与等比数列.
分析:设等差数列{an}的公差为d,由a1,a3,a4成等比数列,可得,即,化为a1=﹣4d≠0,或d=0.代入即可得出.
解答:解:设等差数列{an}的公差为d,
∵a1,a3,a4成等比数列,
∴,
即,
化为a1=﹣4d≠0,或d=0.
则====2,
或===.
故选:D.
点评:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4. 给出下列命题:①a>bac2>bc2;②a>|b|a2>b2;③a>ba3>b3;④|a|>ba2>b2.其中正确的命题是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
B
5. 点P在曲线上移动,设点P处切线的倾斜角为,则的取值范围是( )
参考答案:
B
略
6. 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],
即 [k]={5n+k丨n∈Z},k=0,1,2,3,4。 给出如下四个结论:
① 2013∈[3]
②-3∈[2];
③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
④“整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
7. 已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是( )(注:e为自然对数的底数)
A.(0,) B.[,] C.(0,) D.[,e]
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.
【解答】解:∵方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,
∴y=f(x)与y=ax有2个交点,
又∵a表示直线y=ax的斜率,
∴y′=,
设切点为(x0,y0),k=,
∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),
而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,
∴直线l1的斜率为,
又∵直线l2与y=x+1平行,
∴直线l2的斜率为,
∴实数a的取值范围是[,).
故选:B.
【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的关系,进行解答,是易错题.
8. 若点在椭圆上,F1,F2分别是该椭圆的两焦点,且,则的面积是( )
A. 1 B. 2 C. D.
参考答案:
A
9. 执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 已知双曲线的两个焦点为F1(﹣,0)、F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足?=2,||?||=0,则该双曲线的方程是( )
A.﹣y2=1 B.x2﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】由?=0,可得MF1⊥MF2进一步求出=36,由此得到a=3,则该双曲线的方程可求.
【解答】解:∵?=0,
∴即MF1⊥MF2,
∴.
则=40﹣2×2=36.
∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a.即a=3.
∵c=,∴b2=c2﹣a2=1.
则该双曲线的方程是:.
故选:A.
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,考查了双曲线的性质和应用,解题时要注意向量的合理运用,是中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为 .
参考答案:
12. 对于回归方程,当时,的估计值为。
参考答案:
390
略
13. 若直线ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆的圆心,则的最小值为____________.
参考答案:
3+
略
14. 函数f(x)=log(x-x2)的单调递增区间是 ________
参考答案:
[0.5,1)
略
15. 如图,侧棱长为的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=400 ,
过A作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为
参考答案:
6
16. 不等式的解集为
参考答案:
17.
根据以上事实,由归纳推理可得:当且时,= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:
(1)是奇函数; (2)在定义域上单调递减;
(3) 求的取值范围。
参考答案:
解:,则,
19. 已知已知集合, 又,求的值。
参考答案:
略
20. 已知直线,且直线与都相交,求证:直线共面。
参考答案:
证明:,不妨设共面于平面,设
,即,所以三线共面
21. 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点,, ,在椭圆上,、是椭圆上位于直线两侧的动点.
①若直线的斜率为,求四边形面积的最大值;
②当、运动时,满足于,试问直线的斜率是否为定值?若是,请求出定值,若不是,请说明理由.
参考答案:
解:(1)设椭圆的方程为,则.由,得
∴椭圆C的方程为.
(2)①解:设,直线的方程为, 代入,
得 由,解得
由韦达定理得. 四边形的面积∴当,.
②解:当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为
则的斜率为,的直线方程为 由
略
22. 已知,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)求a1+a2+a3+……+an的值。
参考答案:
解:(Ⅰ)由得:
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56 ·
即(n-5)(n-6)=90
解之得:n=15或n=-4(舍去).
∴ n=15.
(Ⅱ)当n=15时,由已知有:
(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a15x15,
令x=1得:a0+a1+a2+a3+……+a15=-1,
令x=0得:a0=1,
∴a1+a2+a3+……+a15=-2.
略