2021-2022学年江苏省泰州市普通高校对口单招高等数学一
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.设函数为( ).
A.A.0 B.1 C.2 D.不存在
3.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上
A.单调减少 B.单调增加 C.无最大值 D.无最小值
4.
A.
B.
C.
D.
5.若x0为f(x)的极值点,则( ).
A.A.f'(x0)必定存在,且f'(x0)=0
B.f'(x0)必定存在,但f'(x0)不一定等于零
C.f'(x0)不存在或f'(x0)=0
D.f'(x0)必定不存在
6.
7.
8.方程x=z2表示的二次曲面是
A.A.球面 B.椭圆抛物面 C.柱面 D.圆锥面
9.函数y=sinx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ等于( ).
A.A.0 B.π/4 C.π/2 D.π
10.
A.(1/3)x3 B.x2 C.2x D.(1/2)x
11.设y=sin(x-2),则dy=( )
A.A.-cosxdx
B.cosxdX
C.-cos(x-2)dx
D.cos(x-2)dx
12.
13.( )。
A.过原点且平行于X轴 B.不过原点但平行于X轴 C.过原点且垂直于X轴 D.不过原点但垂直于X轴
14.A.-1
B.1
C.
D.2
15.设f(x)=x3+x,则等于( )。
A.0
B.8
C.
D.
16.
17.
18.
19.
20.lim(x2+1)=
x→0
A.3
B.2
C.1
D.0
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.幂级数的收敛区间为______.
26.
27. 过点M0(1,2,-1)且与平面x-y+3z+1=0垂直的直线方程为_________。
28.幂级数的收敛半径为______.
29.
设y=f(x)可导,点xo=2为f(x)的极小值点,且f(2)=3.则曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线方程为__________.
30.
31.
32.微分方程y'=0的通解为______.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
43.
44.
45.
46.
47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
50. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
52.
53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
54.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
55. 求微分方程的通解.
56.证明:
57. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
58. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
59.
60.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.证明:ex>1+x(x>0)
66.
67.
68.求曲线y=2-x2和直线y=2x+2所围成图形面积.
69.求直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围平面图形的面积,并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
70.
五、高等数学(0题)
71.曲线y=x3一12x+1在区间(0,2)内( )。
A.凸且单增 B.凹且单减 C.凸且单增 D.凹且单减
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.C
2.D
本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系.
由于f(x)为分段函数,点x=1为f(x)的分段点,且在x=1的两侧,f(x)的表达式不相同,因此应考虑左极限与右极限.
3.B本题考查了函数的单调性的知识点,
因y'=ex+1/(1+x2)>0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的,故在[-1,1]上单调增加。
4.D
本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。
因此选D。
5.C
本题考查的知识点为函数极值点的性质.
若x0为函数y=f(x)的极值点,则可能出现两种情形:
(1)f(x)在点x0处不可导,如y=|x|,在点x0=0处f(x)不可导,但是点x0=0为f(a)=|x|的极值点.
(2)f(x)在点x0可导,则由极值的必要条件可知,必定有f'(x0)=0.
从题目的选项可知应选C.
本题常见的错误是选A.其原因是考生将极值的必要条件:“若f(x)在点x0可导,且x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0”认为是极值的充分必要条件.
6.D解析:
7.A
8.C
方程x=z2中缺少坐标y,是以xOy坐标面上的抛物线x=z2为准线,平行于y轴的直线为母线的抛物柱面。所以选C。
9.C
本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论.
由于y=sinx在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且y|x=0=0=y|x=π,可知y=sinx在[0,π]上满足罗尔定理,因此必定存在ξ∈(0,π),使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0,从而应有.
故知应选C.
10.C本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。
Y=x2+1,(dy)/(dx)=2x
11.D
本题考查的知识点为微分运算.
可知应选D.
12.A
13.C
将原点(0,0,O)代入直线方程成等式,可知直线过原点(或由
14.A
15.A
本题考查的知识点为定积分的对称性质。
由于所给定积分的积分区间为对称区间,被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知
可知应选A。
16.D解析:
17.B
18.B
19.C
20.C
21.00 解析:
22.
23.
本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.
24.
25.(-2,2) ;本题考查的知识点为幂级数的收敛区间.
由于所给级数为不缺项情形,
可知收敛半径,收敛区间为(-2,2).
26.
27.
28.0
本题考查的知识点为幂级数的收敛半径.
所给幂级数为不缺项情形
因此收敛半径为0.
29.
30.
31.
本题考查的知识点为二重积分的计算.
32.y=C1
本题考查的知识点为微分方程通解的概念.
微分方程为 y'=0.
dy=0. y=C.
33.2
34.
本题考查的知识点为函数商的求导运算.
考生只需熟记导数运算的法则
35.1.
本题考查的知识点为二元函数的极值.
可知点(0,0)为z的极小值点,极小值为1.
36.2
本题考查的知识点为极限的运算.
37.y''=x(asinx+bcosx)
38.1
39.(-35)(-3,5) 解析:
40.33 解析:
41.
42.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
43.
44.
45.
46.
47.
列表:
说明
48.由二重积分物理意义知
49.
50.
51.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
52.
则
53.
54.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
55.
56.
57. 函数的定义域为
注意
58.
59. 由一阶线性微分方程通解公式有
60.由等价无穷小量的定义可知
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.解
69.解:设所围图形面积为A,则
70.
71.B∵y=x2一12x+1; ∴y"=3x2一12=0;驻点x=一2,2, ∴y""=6x ∴y=x3一12x+1在区间(0,2)内y"<0时曲线单减;y"">0时曲线弧凹。
72. 解