2021-2022学年江苏省镇江市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.
3.
4.
5.设f(x)为连续函数,则等于( )
A.A.
B.
C.
D.
6.A.-2(1-x2)2+C
B.2(1-x2)2+C
C.
D.
7.
A.0 B.2 C.4 D.8
8.
A.
B.
C.
D.
9.设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则必定存在一点ξ∈(a,b)使得( )
A.f(ξ)>0 B.f(ξ)<0 C.f(ξ)=0 D.f(ξ)=0
10.
11.
12.二次积分等于( )
A.A.
B.
C.
D.
13.
A.0 B.2 C.2f(-1) D.2f(1)
14.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x,则k等于( )。
A.2 B.1 C.-1 D.-2
15.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取( ).
A.A.Ax B.Ax2+Bx+C C.Ax2 D.x(Ax2+Bx+C)
16.下列函数中,在x=0处可导的是()
A.y=|x|
B.
C.y=x3
D.y=lnx
17.设f(x)为连续函数,则下列关系式中正确的是( )
A.A.
B.
C.
D.
18.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.
A.柱面 B.球面 C.旋转抛物面 D.椭球面
19.
A.仅有水平渐近线
B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线
C.仅有铅直渐近线
D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线
20.下列命题中正确的有( ).
A.A.
B.
C.
D.
二、填空题(20题)
21.
微分方程y+y=sinx的一个特解具有形式为
22.
23. 曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。
24.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。
25.
26.
27.
28.
29.
30.级数的收敛区间为______.
31.
=_________.
32.
33.
34.设y=3x,则y"=_________。
35.
36.
37.设y=e3x知,则y'_______。
38.________.
39.幂级数的收敛半径为______.
40.
三、计算题(20题)
41.
42. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
45.
46. 求微分方程的通解.
47.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
49.
50.
51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
52.证明:
53.
54. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
55. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
57. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
59.
60.
四、解答题(10题)
61.
62.
63. 求曲线y=e-x、x=1,y轴与x轴所围成图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx。
64.
65. 求y"+2y'+y=2ex的通解.
66.
67.
68.
69. 设y=x2=lnx,求dy。
70.
五、高等数学(0题)
71.求∫x3。lnxdx。
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.D
本题考查的知识点为定积分的性质;牛-莱公式.
可知应选D.
6.C
7.A解析:
8.D 故选D.
9.D
10.D解析:
11.A
12.A
本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序.
由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为:
0≤x≤1, 0≤y≤1-x,
其图形如图1-1所示.
交换积分次序,D可以表示为
0≤y≤1, 0≤x≤1-y,
因此
可知应选A.
13.C
本题考查了定积分的性质的知识点。
14.D
本题考查的知识点为可变限积分求导。
由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x,而(cos2x)'=(-sin2x)·2,可知k=-2。
15.D
本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法.
由于相应齐次方程为y"+3y'0,
其特征方程为r2+3r=0,
特征根为r1=0,r2=-3,
自由项f(x)=x2,相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根,因此应设
故应选D.
16.C选项A中,y=|x|,在x=0处有尖点,即y=|x|在x=0处不可导;选项B中,在x=0处不存在,即在x=0处不可导;选项C中,y=x3,y'=3x2处处存在,即y=x3处处可导,也就在x=0处可导;选项D中,y=lnx,在x=0处不存在,y=lnx在x=0处不可导(事实上,在x=0点就没定义).
17.B
本题考查的知识点为:若f(x)可积分,则定积分的值为常数;可变上限积分求导公式的运用.
注意到A左端为定积分,定积分存在时,其值一定为常数,常量的导数等于零.因此A不正确.
由可变上限积分求导公式可知B正确.C、D都不正确.
18.C本题考查了二次曲面的知识点。 x2+y2-2z=0可化为x2/2+y2/2=z,故表示的是旋转抛物面。
19.A
20.B
本题考查的知识点为级数的性质.
可知应选B.通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用.
21.
22.
23.(0 2)
24.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。
25.y=1y=1 解析:
26.3
27.4π
本题考查了二重积分的知识点。
28.-2
29.2
30.(-1,1)
本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间.
所给级数为不缺项情形.
可知收敛半径,因此收敛区间为
(-1,1).
注:《纲》中指出,收敛区间为(-R,R),不包括端点.
本题一些考生填1,这是误将收敛区间看作收敛半径,多数是由于考试时过于紧张而导致的错误.
31.
。
32.63/12
33.1/3
34.3e3x
35.±1.
本题考查的知识点为判定函数的间断点.
36.1
37.3e3x
38.
39.3
40.
41.
42.
43.
44.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
45. 由一阶线性微分方程通解公式有
46.
47.由等价无穷小量的定义可知
48.
49.
50.
51.由二重积分物理意义知
52.
53.
54.
55. 函数的定义域为
注意
56.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
57.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
58.
列表:
说明
59.
60.
则
61.
62.
63.
64.
65.相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0. 其特征方程为r2+2r+1=0; 特征根为r=-1(二重实根); 齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-x 相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0. 其特征方程为r2+2r+1=0; 特征根为r=-1(二重实根); 齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-x,
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.