2021-2022学年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.设y1,y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解,则C1y1+C2y2( )
A.为所给方程的解,但不是通解 B.为所给方程的解,但不一定是通解 C.为所给方程的通解 D.不为所给方程的解
2.微分方程y''-2y'=x的特解应设为
A.Ax B.Ax+B C.Ax2+Bx D.Ax2+Bx+C
3.
4.点作曲线运动时,“匀变速运动”指的是( )。
A.aτ为常量
B.an为常量
C.为常矢量
D.为常矢量
5.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn,Fn沿齿廓在接触处的公法线方向,且垂直于过A点的齿面的切面,如图所示,α为压力角,β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是( )。
A.圆周力FT=Fncosαcosβ
B.径向力Fa=Fncosαcosβ
C.轴向力Fr=Fncosα
D.轴向力Fr=Fnsinα
6.若∫f(x)dx=F(x)+C,则∫f(2x)dx等于( ).
A.A.2F(2x)+C B.F(2x)+C C.F(x)+C D.F(2x)/2+C
7.
A.2x2+x+C
B.x2+x+C
C.2x2+C
D.x2+C
8. 按照卢因的观点,组织在“解冻”期间的中心任务是( )
A.改变员工原有的观念和态度 B.运用策略,减少对变革的抵制 C.变革约束力、驱动力的平衡 D.保持新的组织形态的稳定
9.设函数在x=0处连续,则等于( )。
A.2 B.1/2 C.1 D.-2
10.设函数y=(2+x)3,则y'=
A.(2+x)2
B.3(2+x)2
C.(2+x)4
D.3(2+x)4
11.函数y=ex+e-x的单调增加区间是
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0] C.(-1,1) D.[0,+∞)
12.
13.
14. 微分方程y"+y'=0的通解为
A.y=Ce-x
B.y=e-x+C
C.y=C1e-x+C2
D.y=e-x
15.设y=exsinx,则y'''=
A.cosx·ex
B.sinx·ex
C.2ex(cosx-sinx)
D.2ex(sinx-cosx)
16.设f'(x)在点x0的某邻域内存在,且f(x0)为f(x)的极大值,则等于( ).
A.A.2 B.1 C.0 D.-2
17.
18.
19.。
A.2 B.1 C.-1/2 D.0
20. 鉴别的方法主要有查证法、比较法、佐证法、逻辑法。其中( )是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。
A.查证法 B.比较法 C.佐证法 D.逻辑法
二、填空题(20题)
21.
22.曲线y =x3-3x2-x的拐点坐标为____。
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.设y=f(x)在点x=0处可导,且x=0为f(x)的极值点,则f(0)= .
30.设函数y=x2+sinx,则dy______.
31.
设f(x+1)=4x2+3x+1,g(x)=f(e-x),则g(x)=__________.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41. 求微分方程的通解.
42.
43.
44. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
45.
46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
47. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
49. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
51.
52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
53.证明:
54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
55.
56. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
57.
58.
59.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.求直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围平面图形的面积,并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
64.设y=ln(1+x2),求dy。
65.
66.
67.
68.
69.求由曲线y=3-x2与y=2x,y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
70.
五、高等数学(0题)
71.
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
如果y1,y2这两个特解是线性无关的,即≠C,则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关,所以可能是通解,也可能不是通解,故选B。
2.C
因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.
3.D
4.A
5.C
6.D
本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法).
由题设知∫f(x)dx=F(x)+C,因此
可知应选D.
7.B
8.A解析:组织在解冻期间的中心任务是改变员工原有的观念和态度。
9.C
本题考查的知识点为函数连续性的概念。
由于
f(x)在点x=0连续,因此,故a=1,应选C。
10.B本题考查了复合函数求导的知识点。 因为y=(2+x)3,所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.
11.Dy=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x>0时,y'>0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增.
12.D
13.C
14.C解析:y"+y'=0,特征方程为r2+r=0,特征根为r1=0,r2=-1;方程的通解为y=C1e-x+C1,可知选C。
15.C
由莱布尼茨公式,得(exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).
16.C
本题考查的知识点为极值的必要条件;在一点导数的定义.
由于f(x0)为f(x)的极大值,且f'(x0)存在,由极值的必要条件可知f'(x0)=0.从而
可知应选C.
17.C
18.A
19.A
20.C解析:佐证法是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。
21.
本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.
22.(1,-1)
23.1
24.|x|
25.0
26.
27.
28.F(sinx)+C.
本题考查的知识点为不定积分的换元法.
29.0.
本题考查的知识点为极值的必要条件.
由于y=f(x)在点x=0可导,且x=0为f(x)的极值点,由极值的必要条件可知有f(0)=0.
30.(2x+cosx)dx ;本题考查的知识点为微分运算.
解法1 利用dy=y'dx.由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx,
可知 dy=(2x+cosx)dx.
解法2 利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx.
31.
32.
33.0
本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.
34.x/1=y/2=z/-1
35.
36.极大值为8极大值为8
37.
本题考查的知识点为微分的四则运算.
注意若u,v可微,则
38.本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系.
由于已知直线与所求平面垂直,可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n.由
于s=(2,1,一3),因此可取n=(2,1,-3).由于平面过原点,由平面的点法式方程,可知所求平面方程为
2x+y一3z=0.
39.e-2
40.
41.
42.
43.
44.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
45.
46.
47.
48.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
49. 函数的定义域为
注意
50.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
51.
52.由二重积分物理意义知
53.
54.
列表:
说明
55.
则
56.
57.
58. 由一阶线性微分方程通解公式有
59.由等价无穷小量的定义可知
60.
61.
62.
63.解:设所围图形面积为A,则
64.
65.
66.
67.
68.
69.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示. 解法1 利用定积分求平面图形的面积. 由于的解为x=1,y=2,可得 解法2 利用二重积分求平面图形面积. 由于 的解为x=1,y=2, 求旋转体体积与解法1同.
本题考查的知识点有两个:利用定积分求平面图形的面积;用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积.
本题也可以利用二重积分求平面图形的面积.
70.
71.
72.