2021-2022学年福建省南平市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
A.1/2f(2x)+C B.f(2x)+C C.2f(2x)+C D.1/2f(x)+C
2.
3.设y=exsinx,则y'''=
A.cosx·ex
B.sinx·ex
C.2ex(cosx-sinx)
D.2ex(sinx-cosx)
4.
5.A.-1
B.0
C.
D.1
6.
7. 等于( ).
8.
9.过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程为( ).
A.x+y+z=1
B.2x+y+z=1
C.x+2y+z=1
D.x+y+2z=1
10.
A.exln2
B.e2xln2
C.ex+ln2
D.e2x+ln2
11.
A.A.4/3 B.1 C.2/3 D.1/3
12.A.
B.
C.
D.
13.
14.设函数y=ex-2,则dy=( )
A.e^(x-3)dx B.e^(x-2)dx C.e^(x-1)dx D.e^xdx
15.
16.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上()
A.单调减少 B.单调增加 C.无最大值 D.无最小值
17.
18.
19.
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。
26.
27.
28.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42.
43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
44.
45.
46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
47.证明:
48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
49. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
50. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
51.
52. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
54.
55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
56. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
57. 求微分方程的通解.
58.
59.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
四、解答题(10题)
61.
62. 设z=x2+ y/x,求dz。
63.
64.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.判定
的敛散性。
六、解答题(0题)
72. 证明:当时,sinx+tanx≥2x.
参考答案
1.A
本题考查了导数的原函数的知识点。
2.C解析:
3.C
由莱布尼茨公式,得(exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).
4.A
5.C
6.A
7.D解析:本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.
因此选D.
8.D解析:
9.A设所求平面方程为.由于点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在平面上,将它们的坐标分别代入所设平面方程,可得方程组
故选A.
10.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。
因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时,f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.
注:方程y'=2y求解时也可用变量分离.
11.C
12.C
13.C
14.B
15.B
16.B因处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的,故在[-1,1]上单调增加.
17.A
18.D
19.B
20.B
21.F'(x)
22.
23.3
24.33 解析:
25.
26.3x2siny3x2siny 解析:
27.
28.(0,+∞)
本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性.
由于y=ln(1+x2),其定义域为(-∞,+∞).
又由于,令y'=0得唯一驻点x=0.
当x>0时,总有y'>0,从而y单调增加.
可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0,+∞).
29. 解析:
30.
31.
32.
33.
34.00 解析:
35.6x2
36.
37.0
本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.
38. 解析:
39.3/23/2 解析:
40.2m2m 解析:
41.
42. 由一阶线性微分方程通解公式有
43.
列表:
说明
44.
45.
46.
47.
48.由二重积分物理意义知
49.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
50. 函数的定义域为
注意
51.
则
52.
53.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
54.
55.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
56.
57.
58.
59.由等价无穷小量的定义可知
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67. 解
68.
69.
70.
71.
72.