2021-2022学年广东省惠州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为( )
A.A.2 B.-2 C.3 D.-3
2.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上
A.单调减少 B.单调增加 C.无最大值 D.无最小值
3.
4.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为
A.(-∞,1] B.[1,2] C.[2,+∞) D.[1,+∞)
5.
6.
A.A.yxy-1
B.yxy
C.xylnx
D.xylny
7.
8.( )
A.A.2xy+y2
B.x2+2xy
C.4xy
D.x2+y2
9.若f(x)<0,(a<z≤b)且f(b)<0,则在(a,b)内( )。
A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.f(x)符号不定
10.
11.
12.
13.
A.A.
B.
C.
D.
14.设y=2x3,则dy=( )
A.2x2dx
B.6x2dx
C.3x2dx
D.x2dx
15.函数在(-3,3)内展开成x的幂级数是()。
A.
B.
C.
D.
16.微分方程y'=x的通解为
A.A.2x2+C
B.x2+C
C. (1/2)x2+C
D.2x+C
17.
18.( )。
A.0
B.1
C.2
D.+∞
19.
20.
二、填空题(20题)
21.y"+8y=0的特征方程是________。
22.
23.
24.
25.
26.
则b__________.
27.
28.
29. 曲线y=1-x-x3的拐点是__________。
30.
31.过点(1,-1,0)且与直线平行的直线方程为______。
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
45.
46.
47.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
48. 求微分方程的通解.
49. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
51.
52.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
53.
54. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
55.证明:
56.
57. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
59.
60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.求极限
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.C
点(-1,0)在曲线y=x2+5x+4上.y=x2+5x+4,y'=2x+5,由导数的几何意义可知,曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3,所以选C.
2.B本题考查了函数的单调性的知识点,
因y'=ex+1/(1+x2)>0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的,故在[-1,1]上单调增加。
3.C
4.B
f(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞,+∞)
f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。
令f'(x)=0得驻点x1=1,x2=2。
当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调增加。
当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调减少。
当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调增加。因此知应选B。
5.D
6.A
7.B
8.A
9.D
∵f"(x)<0,(a<x≤b).∴(x)单调减少(a<x≤b)当f(b)<0时,f(x)可能大于0也可能小于0。
10.A
11.C解析:
12.D
13.D
y=cos 3x,则y'=-sin 3x*(3x)'=-3 sin3x。因此选D。
14.B
15.B
16.C
17.C
18.B
19.A
20.C
21.r2+8r=0本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程为r2+8r=0。
22.
23.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1) 解析:
24.
25.
26.所以b=2。所以b=2。
27.2
28.
29.(0 1)
30.63/12
31.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。
由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行,因此可取所求直线的方向向量为(2,1,-1).由直线的点向式方程可知所求直线方程为
32.
33.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
34.eyey 解析:
35.1/4
36.-ln2
37.
38.
本题考查的知识点为连续性与极限的关系,左极限、右极限与极限的关系.
39.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0 解析:
40.2.
本题考查的知识点为二阶导数的运算.
41.
则
42.
43.由二重积分物理意义知
44.
列表:
说明
45.
46.
47.由等价无穷小量的定义可知
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54. 函数的定义域为
注意
55.
56.
57.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
58.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
59. 由一阶线性微分方程通解公式有
60.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.