2021-2022学年河南省许昌市普通高校对口单招高等数学一
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.∫-11(3x2+sin5x)dx=( )。
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.
A.
B.
C.
D.
3.设y=5x,则y'=
A.A.5xln5
B.5x/ln5
C.x5x-1
D.5xlnx
4.
5.
6.设函数Y=e-x,则Y'等于( ).
A.A.-ex
B.ex
C.-e-xQ258
D.e-x
7.
8.
9.设f(x)为连续函数,则(∫f5x)dx)'等于( )
A.A.
B.5f(x)
C.f(5x)
D.5f(5x)
10.
A.6xarctanx2
B.6xtanx2+5
C.5
D.6xcos2x
11.
12.
A.1-cos x B.1+cos x C.2-cos x D.2+cos x
13.
14.
15.设曲线y=x-ex在点(0,-1)处与直线l相切,则直线l的斜率为( ).
A.A.∞ B.1 C.0 D.-1
16.
17.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处
A.取得极大值 B.取得极小值 C.无极值 D.无法判定
18.
A.A.
B.
C.
D.
19.
A.0 B.1/2 C.1 D.2
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.∫x(x2-5)4dx=________。
24.
25.
26.设y=x2+e2,则dy=________
27.
28.
29.
30.
31.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.
32.
33.
34.
35.设区域D由曲线y=x2,y=x围成,则二重积分
36.
37.y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为______.
38.设z=xy,则dz=______.
39.设,则y'=________。
40. 微分方程y'=0的通解为__________。
三、计算题(20题)
41.
42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
44. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
45.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
47.
48. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
49. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
50.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
51. 求微分方程的通解.
52.
53.证明:
54.
55.
56.
57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
59.
60. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.求fe-2xdx。
65.
66.
67.
68.求方程(y-x2y)y'=x的通解.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.∫(2xex+1)dx=___________。
六、解答题(0题)
72.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求: (1)D的面积S; (2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.
参考答案
1.D
2.D 故选D.
3.A
由导数公式可知(5x)'=5xln5,故选A。
4.A
5.A
6.C
本题考查的知识点为复合函数导数的运算.
由复合函数的导数链式法则知
可知应选C.
7.A解析:
8.C解析:
9.C
本题考查的知识点为不定积分的性质.
(∫f5x)dx)'为将f(5x)先对x积分,后对x求导.若设g(x)=f(5x),则(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先将g(x)对x积分,后对x求导,因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x).
可知应选C.
10.C
11.A解析:
12.D
13.D
14.A
15.C
本题考查的知识点为导数的几何意义.
由于y=x-ex,y'=1-ex,y'|x=0=0.由导数的几何意义可知,曲线y=x-ex在点(0,-1)处切线斜率为0,因此选C.
16.A
17.C
18.B
本题考查的知识点为可导性的定义.
当f(x)在x=1处可导时,由导数定义可得
19.D
本题考查了二元函数的偏导数的知识点。
20.B
21.
22. 解析:
23.
24.
25.
26.(2x+e2)dx
27.1/21/2 解析:
28.
29.1+2ln2
30.[-11]
31.(lnx)2+(lny)2=C
32.
33.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx 解析:
34.0
35.本题考查的知识点为计算二重积分.
积分区域D可以表示为:0≤x≤1,x2≤y≤x,因此
36.
本题考查的知识点为定积分的基本公式.
37.-24
本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值.
若f(x)在(a,b)内可导,在[a,b]上连续,常可以利用导数判定f(x)在[a,b]上的最值:
(1)求出f'(x).
(2)求出f(x)在(a,b)内的驻点x1,…,xk.
(3)比较f(x1),f(x2),…,f(xk),f(a),f(b).其中最大(小)值为f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相应的点x为f(x)的最大(小)值点.
y=x3-27x+2,
则 y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),
令y'=0得y的驻点x1=-3,x2=3,可知这两个驻点都不在(1,2)内.
由于f(1)=-24,f(2)=-44,可知y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为-24.
本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3,x2=3之后,直接比较
f(-3)=56,f(3)=-52,f(1)=-24,f(2)=-44,
得出y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为f(-3)=56.其错误的原因是没有判定驻点x1=-3,x2=3是否在给定的区间(1,2)内,这是值得考生注意的问题.在模拟试题中两次出现这类问题,目的就是希望能引起考生的重视.
本题还可以采用下列解法:注意到y'=3(x-3)(x+3),在区间[1,2]上有y'<0,因此y为单调减少函数。可知
x=2为y的最小值点,最小值为 y|x=2=-44.
x=1为y的最大值点,最大值为 y|x=1=-24.
38.yxy-1dx+xylnxdy
39.
40.y=C
41.
42.由二重积分物理意义知
43.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
44.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
45.由等价无穷小量的定义可知
46.
47.
48. 函数的定义域为
注意
49.
50.
列表:
说明
51.
52.
53.
54. 由一阶线性微分方程通解公式有
55.
56.
57.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
58.
59.
则
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.