2022-2023学年辽宁省大连市第四十八高级中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数值域为R,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 三个数a=0.32,b=(1.9)0.3,c=20.3之间的大小关系是
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
B
3. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明 ( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
【分析】
根据数学归纳法的知识,直接选出正确选项.
【详解】将题目中的,改为,即,故选B.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识,属于基础题.
5. 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件,其中随机事件A发生的概率的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,随机事件的概率在[0,1]上,
6. 已知tan60°=m,则cos120゜的值是( )
A. B. C.D.﹣
参考答案:
B
【考点】同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式求得cos120゜的值.
【解答】解:tan60°=m,则cos120°=cos260°﹣sin260°===,
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.
7. 半径为,中心角为所对的弧长是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知函数,则的( )
A.最小值为3 B.最大值为3 C.最小值为 D.最大值为
参考答案:
D
9. (5分)函数f(x)=3x+x﹣3的零点所在的区间是()
A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2)
参考答案:
C
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 由题意可判断函数f(x)=3x+x﹣3在R上是增函数且连续,从而由零点判定定理判断即可.
解答: 易知函数f(x)=3x+x﹣3在R上是增函数且连续,
f(0)=1+0﹣3<0,
f(1)=3+1﹣3>0;
故函数f(x)=3x+x﹣3的零点所在的区间是(0,1);
故选C.
点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
10. 设集合,,则( )
A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{1} D.{0}
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量,若⊥,则实数的值为 .
参考答案:
12. 函数的定义域________.
参考答案:
.
【分析】
根据反正弦函数的定义得出,解出可得出所求函数的定义域.
【详解】由反正弦的定义可得,解得,
因此,函数的定义域为,故答案为:.
【点睛】本题考查反正弦函数的定义域,解题的关键就是正弦值域的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
13. 已知正三棱锥P﹣ABC,点P,A,B,C都在表面积为12π的球的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为 .
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,利用等体积法可实现此计算.
【解答】解:∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,
∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,表面积为12π的球的
∵球O的半径为,
∴正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2,
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离,
设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=,
△ABC为边长为2的正三角形,S△ABC=×(2)2=2,
∴h=,
∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为﹣=.
故答案为:.
14. 设函数,已知,则 ___________.
参考答案:
15. 若||=||=|﹣|=1,则|+|= .
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】首先,根据条件得到,然后,根据向量的模的计算公式求解.
【解答】解:∵||=||=|﹣|=1,
∴,
∴|+|=,
∴|+|=,
故答案为:.
16. 设函数f(x)=,则f(f(﹣1))的值为 .
参考答案:
﹣2
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】直接利用分段函数化简求解即可.
【解答】解:函数f(x)=,
则f(﹣1)=,
f(f(﹣1))=f()=log2=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
17. 若直线:,直线:,则与的距离为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设a为实数,函数f(x)=x|x﹣a|.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)当0≤x≤1时,求f(x)的最大值.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)讨论a=0时与a≠0时的奇偶性,然后定义定义进行证明即可;
(2)讨论当a≤0和a>0时,求出函数f(x)=x|x﹣a|的表达式,即可求出在区间[0,1]上的最大值.
【解答】解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R.
当a=0时f(x)=x|x﹣a|=x|x|,为奇函数.
当a≠0时,f(x)=x|x﹣a|,
f(1)=|1﹣a|,f(﹣1)=﹣|1+a|,
f(﹣x)≠f(x)且f(﹣x)≠﹣f(x),
∴此时函数f(x)为非奇非偶函数.
(2)若a≤0,则函数f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数,
∴函数f(x)的最大值为f(1)=|1﹣a|=1﹣a,
若a>0,由题意可得f(x)=,
由于a>0且0≤x≤1,结合函数f(x)的图象可知,
由,
当,即a≥2时,f(x)在[0,1]上单调递增,
∴f(x)的最大值为f(1)=a﹣1;
当,
即时,f(x)在[0,]上递增,在[,a]上递减,
∴f(x)的最大值为f()=;
当,即时,
f(x)在[0,]上递增,在[,a]上递减,在[a,1]上递增,
∴f(x)的最大值为f(1)=1﹣a.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,以及分段函数的最值的求法,考查学生的运算能力.
19. 已知半径为的圆C,其圆心在射线y=﹣2x(x<0)上,且与直线x+y+1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)从圆C外一点P(x0,y0))向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求△PMC面积的最小值,并求此时点P的坐标.
参考答案:
【考点】圆的切线方程.
【分析】(1)设圆心C(a,﹣2a)(a<0),圆心到直线x+y+1=0的距离d=,求出圆心,可得圆的方程;
(2)由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,化简PM=PO==,求出PM的最小值,进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可.
【解答】解:(1)已知圆的半径为,设圆心C(a,﹣2a)(a<0),
∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=,
∴a=﹣1.
∴圆心C(﹣1,2).
则圆的方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=2;
(2)点P(x0,y0),则PO=,PM=,
由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,
PM=PO===
=.
当时,PM=.因此,PM的最小值为.
△PMC面积的最小值是: =.
此时点P的坐标为(,).
20. 已知,.
(Ⅰ)若,求使得成立的x的集合;
(Ⅱ)当时,函数只有一个零点,求t的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)
因为,所以,故,
解得,
又,所以,令,解得
即使得成立的的集合为
(Ⅱ)函数在只有一个零点,即方程在只有一个根,即函数的图像与直线在上只有一个交点。
作出函数在的图像可知,,
所以,或 .
解得或,或
即的取值范围为.
21. (本小题满分12分)在如下图所示的程序框图中,当输入实数x的值为4时,输出的结果为2;当输入实数x的值为-2时,输出的结果为4.
(l)求实数a,b的值,并写出函数的解析式;
(Ⅱ)若输出的结果为8,求输入的x的值
参考答案:
22. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b>c,已知?=2,cosA=,a=3.求:
(1)b和c的值
(2)cos(A﹣C)的值.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理;9R:平面向量数量积的运算;GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】(1)由已知及平面向量数量积的运算可得bc=6,又由余弦定理可得b2+c2=13,进而可求b+c=5,联立即可解得b,c的值.
(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA,利用余弦定理可求cosC,进而可求sinC,利用两角差的余弦函数公式即可计算得解.
【解答】解:(1)∵?=2,cosA=,
∴bc=2,可得:bc=6①,
又∵a=3,由余弦定理可得:9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣4,可得b2+c2=13,②
∴由①②可得:b+c=5,③
∴由①③可得:或.
∵b>c,
∴b=3,c=2.
(2)∵cosA=,
∴sinA==,
又∵b=3,c=2,a=3,
∴cosC==,sinC==,
∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=+×=.