2022-2023学年四川省乐山市第七中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M分别是AB、AD、AA1的中点,又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上,且A1P=A1Q=x,0<x<1,设面MEF∩面MPQ=l,则下列结论中不成立的是( )
A.l∥面ABCD B.l⊥AC
C.面MEF与面MPQ不垂直 D.当x变化时,l不是定直线
参考答案:
D
【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系;LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】画出直线l,然后判断选项即可.
【解答】解:如图作出过M的中截面,∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M分别是AB、AD、AA1的中点,又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上,且A1P=A1Q=x,0<x<1,QP∥EF,EF∥中截面,由平面与平面平行的性质定理,可知:面MEF∩面MPQ=l,
由平面与平面平行的性质定理可知:l∥面ABCD;
∵几何体是正方体,∴AC⊥EF,由三垂线定理可知:l⊥AC.
过ACC1A1的平面如图,面MEF与面MPQ不垂直,当Q、P与D1,B1重合时,面MEF与面MPQ垂直,
直线l与EF平行,是定直线.D错误.
故选:D.
2. 半径为R的半圆卷成一个圆锥,它的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据圆锥的底面圆周长等于半圆弧长可计算出圆锥底面圆半径,由勾股定理可计算出圆锥的高,再利用锥体体积公式可计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为,高为,则圆锥底面圆周长为,得,
,
所以,圆锥的体积为,故选:A.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算,解题的关键就是要计算出圆锥底面圆的半径和高,解题时要从已知条件列等式计算,并分析出一些几何等量关系,考查空间想象能力与计算能力,属于中等题.
3. 等比数列中,, ,则的值是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
参考答案:
C
略
4. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 ( )
A. 5 B. C. D.
参考答案:
C
分析:由三角形面积公式可得,再由余弦定理可得,最后结合正弦定理即可得结果.
详解:根据三角形面积公式得,,得,则,即,,故正确答案为C.
点睛:此题主要考三角形面积公式的应用,以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能,属于中低档题型,也是常考考点.此类题的题型一般有:1.已知两边和任一边,求其他两边和一角,此时三角形形状唯一;2.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,此时三角形形状不一定唯一.
5. 设全集,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知||=2, ||=1,,则向量在方向上的投影是
A、 B、 C、 D、1
参考答案:
D
7. 正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,O是点A在底面BCD内的射影,则异面直线BM与AO所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
如图,设正四面体的棱长是1,则,高,设点在底面内的射影是,则,所以即为所求异面直线所成角,则,应选答案B。
8. 在△中,角所对的边分别为.若,则
( )
A.- B. C.- D.
参考答案:
B
略
9. 已知等差数列{an}的前n项和为18,若,,则n等于( )
A. 9 B. 21 C. 27 D. 36
参考答案:
C
【分析】
利用前项和的性质可求.
【详解】因为,
而,
所以,故,选C.
【点睛】一般地,如果为等差数列,为其前项和,则有性质:
(1)若,则;
(2) 且 ;
(3)且为等差数列;
(4) 等差数列.
10. 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果,且,那么下列不等式中:①;②;③;④,
不一定成立的是__________(填序号).
参考答案:
③
【考点】71:不等关系与不等式.
【分析】由题意可得,,应用不等式的基本性质判断即可.
【解答】解:由,且,可得,,
故①、②、④一定成立,但③不一定成立,
如当时,不等式不成立,
故答案为:③.
12. 如图所示三角形中,,,,则 .
参考答案:
由正弦定理得,,又,
则,得,
所以。
13. 不等式的解集是_____________.
参考答案:
14. 幂函数的图像经过,则= ________.
参考答案:
15. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则an=_____
参考答案:
【分析】
利用等比数列的前n项和公式列出方程组,求出首项与公比,由此能求出该数列的通项公式.
【详解】由题意,,不合题意舍去;
当等比数列的前n项和为,
即,解得,所以,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
16. 已知数列是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是_____________.
参考答案:
5
略
17. 已知正数数列{an}对任意,都有若a2=4,则
参考答案:
64
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 证明:是无理数
参考答案:
反证法
19. (8分)如图,已知正三角形ABC的边长为1,设=,=.
(Ⅰ)若D是AB的中点,用,表示向量;
(Ⅱ)求2+与﹣3+2的夹角.
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: (Ⅰ)运用中点的向量表示及向量的三角形法则,即可得到所求向量;
(Ⅱ)运用向量的数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,以及向量的夹角公式,计算即可得到夹角.
解答: (Ⅰ)=﹣=﹣=﹣;
(Ⅱ)由题意知,||=||=1,与的夹角为60°,
则=1×=,
(2+)?(﹣3+2)=﹣6++2=﹣6++2=﹣,
|2+|====,
|﹣3+2|====
设2+与﹣3+2的夹角为θ,则cosθ==﹣,
所以2+与﹣3+2的夹角为120°.
点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查中点的向量表示,向量的三角形法则,考查向量的平方即为模的平方,以及向量的夹角公式,考查运算能力,属于中档题.
20. 已知向量与的夹角为, ||=2,||=3,记=3﹣2,=2+k
(I) 若⊥,求实数k的值;
(II) 当 k=﹣时,求向量与的夹角θ.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量.
【分析】(I) 若,两个向量垂直的性质可得=0,由此求得实数k的值.
(II) 解法一:当时,求的cos<, =1,从而求得向量与的夹角θ的值.
解法二:根据当时, =,可得向量与的夹角θ的值.
【解答】解:(I)由于,又∵,可得=(3﹣2)?(2+k)
=6+(3k﹣4)﹣2k=24﹣3(3k﹣4)﹣2k×9=36﹣27k=0,求得.
(II),,,
因为0≤θ≤π,∴θ=0.
解法二:当时,,
所以同向,∴θ=0 …
21. 已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3
0时,B={x|a0,a=3时成立.
∵此时B={x|3
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