2022年福建省宁德市福鼎县第三中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图是函数y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则它的振幅、周期、初相分别是( )
A.A=3,T=,φ=﹣ B.A=3,T=,φ=﹣
C.A=1, D.A=1,
参考答案:
D
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;HL:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】根据三角函数的图象求出A,ω 和φ的值即可.
【解答】解:由图象知函数的最大值为A+2=3,则A=1,
函数的周期T=2×(﹣)==,
则ω=,则y=sin(x+φ)+2,
则当x=时,y=sin(×+φ)+2=3,
即sin(+φ)=1,
则+φ=+2kπ,
则φ=﹣+2kπ,
∵|φ|<π,
∴当k=0时,φ=﹣,
故A=1,,
故选:D
2. 设偶函数的定义域为R,当时,是增函数,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
3. 则θ在 ( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
参考答案:
C
4. 已知正方形ABCD的边长为1,则?=( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】根据数量积的计算公式,便可求出.
【解答】解:.
故选A.
【点评】本题考查数量积的运算公式.
5. 阅读程序框图,则输出的S等于
A.14 B.20 C.30 D.55
参考答案:
C
该程序框图的执行过程是:,,,,否,,,否,,,否,,,是,输出.
6. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为( )
A B C D
参考答案:
C
7. 假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆,为检验公司的产品质量,现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取( )
A.16,16,16 B.8,30,10 C.4,33,11 D.12,27,9
参考答案:
B
【考点】B3:分层抽样方法.
【分析】由题意先求出抽样比例,再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目.
【解答】解:因总轿车数为9600辆,而抽取48辆进行检验,抽样比例为=,
而三种型号的轿车有显著区别,根据分层抽样分为三层按比例,
∵“远景”型号的轿车产量是1600辆,应抽取辆,
同样,得分别从这三种型号的轿车依次应抽取8辆、30辆、10辆.
故选B.
8. 设向量,定义两个向量之间的运算“”为.若向量,则向量等于( )
A. (-3,-2) B. (3,-2) C. (-2,-3) D. (-3,2)
参考答案:
A
【分析】
设向量,由,,,解方程求得,的值.
【详解】设向量,,,,,,
故向量,,
故选:.
【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算,得到,,,是解题的关键.
9. 在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于( )
参考答案:
A
10. 已知在映射下的像是,则在映射下的原像是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数、满足,下列5个关系式:①;②;③;④;⑤=0, 其中可能成立的关系有____________.
参考答案:
略
12. 已知p:-12
解析:由p:-12.
13. 设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足
x0-2y0=2,则m的取值范围是
参考答案:
14. 已知点A(﹣1,1)、B(1,2)、C(﹣2,1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出.
【解答】解:∵, =(5,3).
设与夹角为θ,
则=,
∴向量在方向上的投影为==.
故答案为:.
【点评】本题考查了平面向量的数量积、向量的投影,属于基础题.
15. 已知函数,在区间上任取一点,使的概率为 .
参考答案:
略
16. 方程解的个数为__________.
参考答案:
2
略
17. 已知锐角三角形边长分别为2,3,,则的取值范围是__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球,从中任意摸出两个球.
(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率:
(2)求至少摸出1个黑球的概率.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)记事件恰好摸出个黑球和1个红球,列举出所有的基本事件,确定所有的基本事件数和事件所包含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求出事件的概率;
(2)记事件至少摸出个黑球,确定事件所包含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求出事件的概率.
【详解】(1)记事件恰好摸出个黑球和1个红球,
所有的基本事件有:、、、、、、、、、,共个,
事件所包含的基本事件有:、、、、、,共个,
由古典概型的概率公式可知,;
(2)事件至少摸出个黑球,则事件所包含的基本事件有:、、、、、、,共个,
由古典概型的概率公式可知,.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算,解题的关键在于列举出基本事件,常见的列举方法有枚举法与树状图法,列举时应遵循不重不漏的基本原则,考查计算能力,属于中等题。
19. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】(1)取BC中点G,连接AG,EG,通过证明四边形EGAD是平行四边形,推出ED∥AG,然后证明DE∥平面ABC.
(2)证明AD∥平面BCE,利用VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC,然后求解几何体的体积.
【解答】解:(1)证明:取BC中点G,连接AG,EG,
因为E是B1C的中点,所以EG∥BB1,
且.
由直棱柱知,AA1∥BB1,AA1=BB1,而D是AA1的中点,
所以EG∥AD,EG=AD
所以四边形EGAD是平行四边形,
所以ED∥AG,又DE?平面ABC,AG?平面ABC
所以DE∥平面ABC.
(2)解:因为AD∥BB1,所以AD∥平面BCE,
所以VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC,
由(1)知,DE∥平面ABC,
所以.
20. 如图,已知正四棱锥中,点分别在上,且.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
证明:(1)设,交于点,在正四棱锥中,平面.
,所以. 以为坐标原点,,方向
分别是轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,
如图: ……2分
则,,,,
故,
,
所以,,
,
所以与所成角的大小为. ……8分
(2), ,.
设是平面的一个法向量,则,,
可得 令,,,即, ……10分
设是平面的一个法向量,则,,
可得 令,,,即, …12分
,
则二面角的余弦值为.……16分
21. (本小题满分14分)已知函数,其中a为常数.
(I)当时,讨论函数的奇偶性;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)当时,求函数的值域.
参考答案:
(I)时,,函数的定义域为R . ……………………(1分)
…………………………………………(2分)
= ks5u
= =0 ………………………………………………………(5分)
∴ 时,函数为奇函数. ………………………………………………(6分)
(Ⅱ)设,
则=, …………(8分)
, ,
即. ……………………………(10分)
所以不论为何实数总为增函数. ……ks5u…………………(11分)
(Ⅲ)时,
,, ,.
∴ 时,函数的值域为. ………………………………………(14分)
22. 如图已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心.⑴求线段PQ的长;⑵证明:PQ∥面AA1B1B.
参考答案:
略