2022-2023学年江苏省徐州市田家炳中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量=(),=(1,)且,其中,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x﹣1)的定义域为( )
A.(﹣1,1) B.(0,) C.(﹣1,0) D.(,1)
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】原函数的定义域,即为2x﹣1的范围,解不等式组即可得解.
【解答】解:∵原函数的定义域为(﹣1,0),
∴﹣1<2x﹣1<0,即,
解得0<x<.
∴函数f(2x﹣1)的定义域为(0,).
故选B.
3. 函数f(x)=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】将选项中各区间两端点值代入f(x),满足f(a)?f(b)<0(a,b为区间两端点)的为答案.
【解答】解:因为f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上,
故选C.
4. 已知分别是直线上和直线外的点,若直线的方程是,则方程表示( )
A、与重合的直线 B、不过P2但与平行的直线
C、过P1且与垂直的直线 D、过P2且与平行的直线
参考答案:
D
略
5. 若,则=( )
A. B.2 C.﹣2 D.
参考答案:
D
【考点】GR:两角和与差的正切函数.
【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简条件,由商的关系化简所求的式子,整体代入求值即可.
【解答】解:由题意得,,
所以,则,
所以=﹣=,
故选:D.
6. 设角的终边经过点P(-3,4),那么sin+2cos=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 四面体中,各个侧面都是边长为的正三角形,分别是和的中点,则异面直线与所成的角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. ,,,则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 函数f(x)=4x2﹣mx+5在区间[﹣2,+∞)上是增函数,则有( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
参考答案:
A
【考点】二次函数的性质.
【分析】求出函数的对称轴,利用二次函数的性质,列出不等式求解m的范围,即可求解结果.
【解答】解:函数f(x)=4x2﹣mx+5的开口向上,对称轴为:x=,
函数f(x)=4x2﹣mx+5在区间[﹣2,+∞)上是增函数,
可得,解得m≤﹣16.﹣m≥16
∴f(1)=9﹣m≥25.
故选:A.
10. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
取的中点,连接、,作,垂足为点,证明平面,
于是得出直线与平面所成的角为,然后利用锐角三角函数可求出。
【详解】如下图所示,取的中点,连接、,作,垂足为点,
是边长为2的等边三角形,点为的中点,则,且,
在三棱柱中,平面,平面,,
,平面,平面,,
,,平面,
所以,直线与平面所成的角为,易知,
在中,,,,,
,即直线与平面所成的角为,故选:A。
【点睛】本题考查直线与平面所成角计算,求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则,一作的是过点作面的垂线,有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离,利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值,考查计算能力与推理能力,属于中等题。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD=BD=,∠BAC=30°,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是 .
①当平面ABD⊥平面ABC时,C、D两点间的距离为;
②在三角板ABD转动过程中,总有AB⊥CD;
③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC体积的最大值为.
参考答案:
①③
12. 函数恒过定点 .
参考答案:
(2,1)
13. 已知定义在上的偶函数在上为减函数,且,则不等式
的解集为 ▲ .
参考答案:
14. 函数的定义域为 .
参考答案:
{x|x≥2且x≠3}
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由函数解析式可得 x≥2 且x≠3,由此求得函数的定义域.
【解答】解:由函数可得 x≥2 且x≠3,故函数的定义域为 {x|x≥2且x≠3},
故答案为 {x|x≥2且x≠3}.
15. 在△ABC中,,则的最大值是_______________。
参考答案:
解析:
16. 已知数列{an}的通项公式为,数列{bn}的通项公式为,设,在数列{cn}中,,则实数t的取值范围是 .
参考答案:
[3,6]
,因为,则,
所以,所以,
即的取值范围是。
17. 给定集合与,则可由对应关系=_________(只须填写一个 符合要求的解析式即可),确定一个以为定义域,为值域的函数.
参考答案:
,,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出销售额和利润额的散点图;
(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程;
(3)据(2)的结果估计当销售额为4千万元时的利润额.
(附:线性回归方程:,,,)
参考答案:
(1)见解析. (2) (3)当销售额为4(千万元)时,利润约为(百万元).
【分析】
(1)根据连锁经营公式所属5个零售店某月的销售额和利润资料散点图,由散点图可得连个变量符合正相关;
(2)设回归直线的方程为,分别求出,由,,求得的值,即可求解回归直线的方程;
(3)当销售额为4(千万元)时,代入回归直线方程,即可作出预测,得到结论.
【详解】根据连锁经营公式所属5个零售店某月的销售额和利润资料散点图,
由散点图可得连个变量符合正相关;
(2)设回归直线的方程为,
因为,
则,
又由,
所以利润对销售额的回归直线的方程为.
(3)当销售额为4千万元时,利润额为.
【点睛】本题主要考查了散点图的作法及判断,回归直线方程的求法及应用,其中解答中认真审题,准确计算,注意最小二乘法的合理运用是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
19. 计算:(Ⅰ);
(Ⅱ).
参考答案:
(Ⅰ)----5分
(得分分解:4项中每项算对各得1分,最后结果10再得1分)
(Ⅱ)--------------7分
-------------------------------9分
------------------------------10分
(也可酌情给分)
20. 计算:(Ⅰ);
(Ⅱ).
参考答案:
(Ⅰ)原式=–1–+16=16. …………4分
(Ⅱ)原式=+2+2=. …………8分
21. (本小题满分10分)已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
参考答案:
解:设圆台的母线长为,则 1分
圆台的上底面面积为 3分
圆台的上底面面积为 5分
所以圆台的底面面积为 6分
又圆台的侧面积 8分
于是 9分
即为所求. 10分
22. 在等差数列{an}中,已知.
(1)求an;
(2)若,求数列{bn}的前10项和.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)设出公差,由列方程解出即可.
(2)表示的项负正相间,可把相邻两项结合起来再求和.
【详解】(1)设等差数列的公差为,
由题意得解得
所以.
(2)因为,
所以
.
【点睛】本题考查等差数列的基本问题,数列的求和.对于通项中含有,即正负相间的数列,可把相邻两项结合起来再求和.