2022-2023学年江苏省淮安市吴集镇中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的反函数为( )
A.y= B.y= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C.y= D.y=
参考答案:
C
2. 已知偶函数在上单调递增,则下列关系成立的是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
C
∵是偶函数,
∴,,
又∵在上单调递增,
∴,
∴,
故选.
3. 函数的图象大致是
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知x,y满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
(x-1)2+(y-1)2表示点P(x,y)到点Q(1,1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l:x+2y-5=0上,所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离,
即d==,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为d2=.故选A.
5. 等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C﹣BM﹣A的大小为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
参考答案:
C
【考点】余弦定理;与二面角有关的立体几何综合题.
【分析】在等腰直角三角形ABC中,由AB=BC=1,M为AC中点,知AM=CM=BM=,AM⊥BM,CM⊥BM,所以沿BM把它折成二面角后,∠AMC就是二面角的平面角,由此能求出二面角C﹣BM﹣A的大小.
【解答】解:在等腰直角三角形ABC中,
∵AB=BC=1,M为AC中点,
∴AM=CM=BM=,AM⊥BM,CM⊥BM,
所以沿BM把它折成二面角后,∠AMC就是二面角的平面角.
在△AMC中,∵AM=CM=,AC=1,
由余弦定理,知cos∠AMC==0,
∴∠AMC=90°.
故选C.
6. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的,令,下面说法错误的是( )
A.若与共线,则⊙=0B.⊙=⊙
C.对任意的λ∈R,有⊙=⊙)D.(⊙)2+()2=||2||2
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意对选项逐一分析.若与共线,则有,故A正确;
因为,而,所以有,故选项B错误,
对于C,⊙=λqm﹣λpn,而⊙)=λ(qm﹣pn)=λqm﹣λpn,故C正确,
对于D,(⊙)2+()2=(qm﹣pn)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=||2||2,D正确;
得到答案.
【解答】解:对于A,若与共线,则有,故A正确;
对于B,因为,而,所以有,故选项B错误,
对于C,⊙=λqm﹣λpn,而⊙)=λ(qm﹣pn)=λqm﹣λpn,故C正确,
对于D,(⊙)2+()2=(qm﹣pn)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=||2||2,D正确;
故选B.
7. 若函数f(x)=在[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A. B. C. D.都不对
参考答案:
B
略
9. 已知函数f(x)=sin2x向左平移个单位后,得到函数y=g(x),下列关于y=g(x)的说法正确的是( )
A.图象关于点(﹣,0)中心对称 B.图象关于x=﹣轴对称
C.在区间[﹣,﹣]单调递增 D.在[﹣,]单调递减
参考答案:
C
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据函数图象的平移变换法则“左加右减,上加下减”,易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数解析式,然后利用函数的对称性,单调性判断选项即可.
【解答】解:函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数为y=sin2(x+)=sin(2x+).
对于A,当x=﹣时,y=sin(﹣)≠0.图象不关于点(﹣,0)中心对称,∴A不正确;
对于B,当x=﹣时,y=sin0=0,图象不关于x=﹣轴对称,∴B不正确
对于C,y=sin(2x+)的周期是π.
当x=时,函数取得最大值,x=﹣时,函数取得最小值,
∵[﹣,﹣]?[﹣,],
∴在区间[﹣,﹣]单调递增,∴C正确;
对于D,y=sin(2x+)的周期是π.当x=时,函数取得最大值,∴在[﹣,]单调递减不正确,∴D不正确;
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换,其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减,上加下减”,是解答本题的关键
10. 设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ()
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量.若向量与向量共线,则实数k的值是 .
参考答案:
-1
12. (5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1},集合B={x|x2﹣1≤0,x∈R},则A∩B= .
参考答案:
{﹣1,0,1}
考点: 交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 求解一元二次不等式化简集合B,然后直接利用交集的运算求解.
解答: ∵A={﹣2,﹣1,0,1},
B={x|x2﹣1≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤1},
则A∩B={﹣1,0,1}.
故答案为:{﹣1,0,1}.
点评: 本题考查交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础的计算题.
13. 从某校3000名学生中随机抽取若干学生,获得了他们一天课外阅读时间(单位:分钟)的数据,整理得到频率分布直方图如下.则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学生人数为_____.
参考答案:
900
【分析】
根据频率分布直方图中,所有小矩形面积之和为1,可以在频率分布直方图中找到阅读时间在这个组内的,频率与组距之比的值,然后求出落在这个段的频率,最后求出名学生每天阅读时间在的学生人数.
【详解】因为在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1,所以有下列等式成立:
,在这个组内,频率与组距之比的值为,所以频率为,因此名学生每天阅读时间在的学生人数为,
【点睛】本题考查了在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1这一性质,考查了数学运算能力.
14. 已知log23=m,试用m表示=___________。
参考答案:
解析:===。
15. 过作椭圆的两弦,且,则直线恒过定点________.
参考答案:
略
16. 函数f(x)=,则f[f(﹣2)]= ;若f(x0)<3,则x0的取值范围是 .
参考答案:
2,(﹣2,7).
【考点】函数的值.
【分析】由已知得f(﹣2)=2﹣(﹣2)﹣1=3,从而f[f(﹣2)]=f(3),由此能求出f[f(﹣2)]的值;由f(x0)<3,得到:当x0>0时,f(x0)=log2(x0+1)<3;当x0≤0时,f(x0)=﹣1<3.由此能求出x0的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f(﹣2)=2﹣(﹣2)﹣1=3,
f[f(﹣2)]=f(3)=log24=2.
∵f(x0)<3,
∴当x0>0时,f(x0)=log2(x0+1)<3,解得0<x0<7;
当x0≤0时,f(x0)=﹣1<3,解得﹣2<x0≤0.
综上,x0的取值范围是(﹣2,7).
故答案为:2,(﹣2,7).
17. 计算 .
参考答案:
.解析:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知集合A={x|3≤x<7},集合B={x|2<x<10}.
(1)求A∪B:(CRA)∩B;
(2)若C={x|a≤x≤a+1}且CB,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.
专题: 集合.
分析: (1)根据集合的运算即可求A∪B,(CRA)∩B;
(2)根据CB,建立条件关系即可求实数a的取值范围.
解答: (1)∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},
∴A∪B={x|2<x<10},
∵CRA=(﹣∞,3)∪
∴2<a<a+1<10,
解得2<a<9.
即a∈(2,9).
点评: 本题主要考查集合关系的应用,以及集合的基本运算,考查学生的计算能力.
19. 求值:
(1)
(2)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°.
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的图像与性质.
【分析】(1)化根式为分数指数幂,然后结合对数的运算性质化简求值;
(2)直接利用两角差的正弦得答案.
【解答】解:(1)
=
=9﹣25+9+2=﹣5;
(2)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin(45°﹣15°)=sin30°=.
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及化简运算,考查了两角和与差的正弦,是基础的计算题.
20. (本题满分10分)已知全集,,,.
(1)求 ;(2)如果集合,写出的所有真子集.
参考答案:
(1),,
集合的真子集有:
21. 已知a,b>0,证明:a3+b3≥a2b+ab2.
参考答案:
证明见解析
【分析】
利用作差比较法证明不等式.
【详解】证明:(a3+b3)(a2b+ab2)=a2(a﹣b)+b2(b﹣a)
=(a﹣b)(a2﹣b2)=(a﹣b)2(a+b)
∵a>0,b>0,
∴a+b>0,(a﹣b)2≥0,
∴(a﹣b)2(a+b)≥0,
则有a3+b3≥a2b+b2a.
【点睛】本题主要考查比较法证明不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22. 已知集合A = {a-3,2a-1,a2 + 1},a∈R.
(1)若-3∈A,求实数a的值;
(2)当a为何值时,集合A的表示不正确.
参考答案:
解析:(1)a = 0或a =-1;(2)-2(考查元素的互异性)