北京六道河中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知角的终边经过点P,则的值是 ( )
A、 B、 C、1 D、
参考答案:
B
略
2. 已知函数,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的根,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,2) C.(1,2) D.[1,2)
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】原问题等价于于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点,在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案.
【解答】解:关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,
等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点,
作出函数的图象如下:
由图可知实数k的取值范围是(1,2)
故选:C.
【点评】本题考查根的存在性和个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.
3. 函数f(x)=sin(2x﹣)在区间上的最小值是( )
A.﹣1 B.﹣ C. D.0
参考答案:
B
【考点】HW:三角函数的最值.
【分析】由题意,可先求出2x取值范围,再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值.
【解答】解:由题意x∈,得2x∈[,],
∴∈[,1]
∴函数在区间的最小值为.
故选B.
4. 对于集合N和集合,
若满足,则集合中的运算“”可以是
A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
参考答案:
C
5. 一元二次不等式的解集是,则的值是( )。
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:方程的两个根为和,
6. 平面向量与的夹角为,,则等于( )
A.2 B.2 C.4 D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.
【分析】利用已知条件,通过平方关系,求解即可.
【解答】解:平面向量与的夹角为,,
则===2.
故选:A.
7. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与平面AB1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
连接AB1,设正方体棱长为1.
∵B1C1⊥平面AB1,∴∠C1AB1为AC1与平面AB1所成角.
∴
故选:D
8. 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是 ( )
A.0 B.0 或1 C.1 D.不能确定
参考答案:
B
9. 已知集合,则=( )
A.(1,3) B.[1,3] C.{1,3} D.{1,2,3}
参考答案:
D
10. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设 (x0),则的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
正方体AC1棱长是1,点E、F是线段DD1,BC1上的动点,则三棱锥E一AA1F体积为___.
参考答案:
12. 函数的定义域
参考答案:
略
13. 已知向量=(1,),=(3,m),若向量的夹角为,则实数m= .
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】利用两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式,求得实数m的值.
【解答】解:∵向量=(1,),=(3,m),若向量的夹角为,
则=||?||?cos,即 3+m=2??,求得m=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式,属于基础题.
14. 求过(2,3)点,且与(x-3)2+y2=1相切的直线方程为
参考答案:
或
15. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足,则=________.
参考答案:
略
16. 已知,则 .
参考答案:
由可得:cos,
∴ cos
17. 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则?= .
参考答案:
2
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()?(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.
【解答】解:∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=0,
故=()?()=()?()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,
故答案为 2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x﹣2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由已知圆C以线段OA为直径,则OA的中点即为圆心,OA即为直径长.从而可求出圆C的方程.
(2)由已知可设直线l2的方程为:x﹣2y+m=0.从而圆心C到直线l2的距离.根据则即可求出m的值,从而求出直线l2的方程.
【解答】解:(1)∵点O(0,0),A(6,0),
∴OA的中点坐标为(3,0).
∴圆心C的坐标为(3,0).
半径r=|OC|=3.
∴圆C的方程为
(x﹣3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1,
∴可设直线l2的方程为:x﹣2y+m=0.
则圆心C到直线l2的距离
.
则.
∴.
解得,m=2或m=﹣8.
∴直线l2的方程为
x﹣2y+2=0或x﹣2y﹣8=0.
【点评】本题考查圆的标准方程,点到直线的距离公式,弦长公式等知识的运用.属于中档题.
19. 已知函数(x > 0)
(I)求的单调减区间并证明;
(II)是否存在正实数m,n(m < n),使函数的定义域为[m,n]时值域
为[,]?若存在,求m,n的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若存在两个不相等的实数和,且,,使得
和同时成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(I)解:的单调减区间为 1分
任取且
则 2分
∴ 故在上为减函数 3分
(II)①若,则
∴
两式相减,得不可能成立 5分
②若,,则的最小值为0,不合题意 6分
③若,则
∴ ∴
∴ m,n为的不等实根 .∴ ,
综上,存在,符合题意 9分
(Ⅲ)若存在两个不相等的实数和,且,,使得,和
同时成立,则当时,有两个不相等的实数根,即在上有两个不相等的实数根 10分
令,则有:
,故实数的取值范围为 14分
略
20. 近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中.
(I)求a,b的值;
(Ⅱ)求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数;
(Ⅲ)若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在[50,60)的概率.
参考答案:
(Ⅰ) (Ⅱ) 平均数74.9,众数75.14,中位数75;(Ш)
【分析】
(I)根据频率之和为列方程,结合求出的值.(II)利用各组中点值乘以频率然后相加,求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方,列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.(III)先计算出从,中分别抽取人和人,再利用列举法和古典概型概率计算公式,计算出所求的概率.
【详解】解:(I)依题意得,所以,
又,所以.
(Ⅱ)平均数为
中位数为
众数为
(Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,
所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为:
,
共28种,
其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则
【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数,考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法,考查利用古典概型求概率.属于中档题.
21. (8分)如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值。
参考答案:
解:
作交BE于N,交CF于M.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,
,
......6分
在中,由余弦定理,
.....8分
略
22. (本题满分10分) 已知集合。
(1)求,;
(2)已知,求.
参考答案:
(1) , . .2
. .3
(2)=. . 5