广东省阳江市海陵中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 若函数在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由周期求出,再根据,求得的值,即可得到的值.
【详解】由函数图像 可得
故选C
【点睛】本题主要考查了正弦函数图象的性质以及平面向量的数量积公式,关键是从函数图象得出四分一周期的值,从而求出.
3. 正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=1,BF=,将此正方形沿DE、DF折起,使点A、C重合于点P,则三棱锥P-DEF的体积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
4. 已知点A,B,C,D均在球O上,,若三棱锥D-ABC体积的最大值为,则球O的体积为
A. B. 16π C. 32π D.
参考答案:
A
【分析】
设是的外心,则三棱锥体积最大时,平面,球心在上.由此可计算球半径.
【详解】如图,设是的外心,则三棱锥体积最大时,平面,球心
在上.
∵,∴,即,
∴.
又,∴,.
∵平面,∴,设球半径为,
则由得,解得,
∴球体积为.
故选A.
【点睛】本题考查球的体积,关键是确定球心位置求出球的半径.
5. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
6. 2005是数列中的第( )项.
A. 332 B. 333 C. 334 D. 335
参考答案:
C
7. 在集合上定义两种运算和如下:那么 。
参考答案:
;
8. 如图,在平面四边形ABCD中,
若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
分析:由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t的函数,用函数可求得最小值。
详解:连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,。设
=
所以当时,上式取最大值 ,选A.
点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
9. (5分)已知直线经过点A(﹣2,0),B(﹣5,3),则该直线的倾斜角为()
A. 150° B. 135° C. 75° D. 45°
参考答案:
B
考点: 直线的倾斜角.
专题: 直线与圆.
分析: 由两点式求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角.
解答: ∵直线经过点A(﹣2,0),B(﹣5,3),
∴其斜率k=.
设其倾斜角为θ(θ∈[0,π)),
则tanθ=﹣1.
∴θ=135°.
故选:B.
点评: 本题考查了直线斜率的求法,考查了斜率和倾斜角的关系,是基础题.
10. 下列命题中正确的是( )
A.过三点确定一个平面
B.四边形是平面图形
C.三条直线两两相交则确定一个平面
D.两个相交平面把空间分成四个区域
参考答案:
D
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】根据平面的基本性质与推论,对题目中的命题进行分析,判断正误即可.
【解答】解:对于A,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,故A错误;
对于B,四边形也可能是空间四边形,不一定是平面图形,故B错误;
对于C,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,故C错误;
对于D,平面是无限延展的,两个相交平面把空间分成四个区域,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查了平面基本性质与推论的应用问题,是基础题目.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对于函数的定义域中任意的,(),恒有和成立,则称函数为“单凸函数”,下列有四个函数:
(1);(2);(3);(4).
其中是“单凸函数”的序号为 .
参考答案:
(2)(3)
根据“单凸函数”的定义,满足 的函数是增函数,所以(4)不是,对于(1)当,时,,不符合定义,对于(2)(3)符合定义,故填(2)(3).
12. 若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.
参考答案:
3
解析:当a>0且b>0时,+=2;
当a·b<0时,+=0;
当a<0且b<0时,
+=-2.
所以集合中的元素为2,0,-2.
即元素的个数为3.
13. 给出下列命题:
①函数y=sin(-2x)是偶函数;
②函数y=sin(x+)在闭区间[-,]上是增函数;
③直线x=是函数y=sin(2x+)图像的一条对称轴;
④将函数y=cos(2x-)的图像向左平移个单位,得到函数y=cos2x的图像.其中正确的命题的序号是________.
参考答案:
①③
14. 函数的定义域为________
参考答案:
【分析】
这是根式型函数求定义域,根据二次根式的性质,有,再由余弦函的性质进行求解.
【详解】要使函数有意义则
所以
解得
所以函数的定义域为
故答案为:
【点睛】本题主要考查了根式函数定义域的求法及余弦函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
15. 已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,∠AEB=60°,则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为 .
参考答案:
16π
【考点】LG:球的体积和表面积.
【分析】设球心到平面ABCD的距离为d,利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,∠AEB=60°,可得E到平面ABCD的距离为,从而R2=()2+d2=12+(﹣d)2,求出R2=4,即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积.
【解答】解:设球心到平面ABCD的距离为d,则
∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,∠AEB=60°,
∴E到平面ABCD的距离为,
∴R2=()2+d2=12+(﹣d)2,
∴d=,R2=4,
∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π.
故答案为:16π.
16. (5分)已知函数f(x)=,则f(f(1))= .
参考答案:
﹣6
考点: 函数的值.
专题: 计算题.
分析: 根据题意和解析式先求出f(1)的值,再求出f(f(1))的值.
解答: 由题意得,函数f(x)=,
则f(1)=1﹣4=﹣3,所以f(f(1))=f(﹣3)=﹣6,
故答案为:﹣6.
点评: 本题考查了求分段函数多层的函数值,一般从内到外依次求函数值,注意自变量对应的范围,代入对应的解析式.
17. 已知角的终边经过点,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,,求B
参考答案:
解析:由及得
又由及正弦定理得
故或(舍去),于是或知或所以。
19. 解方程:log2(4x+4)=x+log2(2x+1﹣3)
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由已知得4x+4=2x(2x+1﹣3),由此能求出原方程的解.
【解答】解:∵
∴4x+4=2x(2x+1﹣3),
∴4x﹣3?2x﹣4=0,
∴2x=4或2x=﹣1(舍)
∴x=2.
经检验x=2满足方程.
【点评】本题考查对数方程的求解,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用.
20. 奇函数的定义域为R,其中为指数函数,且过点(2,9)
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)判断的单调性,并用定义证明;
(Ⅲ)若对任意,不等式恒成立,
求实数k的取值范围。
参考答案:
21. 已知函数f(x)是偶函数,且x≤0时,f(x)=.
(1)求当x>0时f(x)的解析式;
(2)设a≠0且a≠±1,证明:f(a)=﹣f().
参考答案:
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数f(x)是偶函数,x≤0时,f(x)=,设x>0,则﹣x<0,转化即可得出解析式,
(2)①a>0时,②a<0时,利用函数解析式代入讨论即可证明.
【解答】解:(1)设x>0,则﹣x<0,x≤0时,f(x)=,
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(﹣x)
∴f(x)=f(﹣x)=,
即当x>0时f(x)=.
(2)f(x)=,
①a>0时,f(a)=,﹣f()=﹣==f(a),
②a<0时,f(a)=,﹣f()=﹣=﹣=f(a),
综上:a≠0且a≠±1,f(a)=﹣f().
【点评】本题考查了函数解析式的求解,运用函数的性质,解析式证明等式问题,分类讨论,属于中档题.
22. (本小题满分12分)设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},B={x|(x-4)(x-1)=0}.
(1)若a=1时,求A∩B,A∪B;
(2)设C=A∪B,若集合C的子集有8个,求实数a的取值集合.
参考答案:
解:(1)由集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},
B={x|(x-4)(x-1)=0},
所以当a=1时,A={1,3},B={1,4},
所以A∩B={1},A∪B={1,3,4}.
(2)因为C=A∪B,集合C的子集有8个,所以集合C中有3个元素,而1,3,4∈C,故实数a的取值集合为{1,3,4}.