上海继光中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数且对任意正实数都有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. 用秦九韶算法求多项式当时的值时,( )
A. -5 B. -7 C. -9 D. -11
参考答案:
C
【分析】
利用秦九韶算法思想的基本步骤逐步计算,可得出的值。
【详解】由秦九韶的算法思想可得,,,
,故选:C。
【点睛】本题考查秦九韶算法的基本思想,计算时根据秦九韶算法思想逐个计算可得出所要的结果,考查计算能力,属于中等题。
3. 若f(x)=2sin2x的最小正周期为T,将函数f(x)的图象向左平移,所得图象对应的函数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由三角函数的周期的公式得:T=,由函数图象的平移得:g(x)=2sin2(x+)=-2sin2x,得解.
【详解】由f(x)=2sin2x可得:此函数的最小正周期为T=,
将函数f(x)的图象向左平移,
所得图象对应的函数为g(x)=2sin2(x+)=-2sin2x,
故选:B.
【点睛】本题考查了三角函数的周期、函数图象的平移,属简单题.
4. 如图,在中,,,是的中点,则().
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
∵是边的中点,
∴,
∴.
故选.
5. 若向量u=,v=,w=,则下列结论中错误的是 ( )
A. u v B. v // w C. w =u-3 v D.对任一向量,存在实数使= u+v
参考答案:
C
6. 在边长为6的正中,点满足,则等于( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
参考答案:
D
7. 若数列{an}的前n项和Sn=n2+3n﹣90,则的值为( )
A.18 B.﹣2 C.2 D.﹣
参考答案:
D
【考点】8H:数列递推式.
【分析】根据数列{an}的前n项和Sn=n2+3n﹣90,直接进行计算即可得到结论.
【解答】解:∵数列{an}的前n项和Sn=n2+3n﹣90,
∴a1+a2+a3=S3=32+3×3﹣90=﹣72,
a4+a5+a6=S6﹣S3=36,
则=,
故选:D.
【点评】本题主要考查数列项的计算,比较基础.
8. 下列命题:
①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣,k∈Z};
②若,则必为;
③当时函数取得最大值,则; ④函数在区间[,]上的值域为[,];
⑤方程在区间[0,]上有两个不同的实数解x1,x2,则。其中正确命题的序号为_____________。
参考答案:
①③⑤
略
9. 设,,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 在中,,,在上任取一点D,使为钝角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ________
参考答案:
集合或区间表示
12. (5分)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为 .
参考答案:
π
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 将题中的函数表达式与函数y=Asin(ωx+φ)进行对照,可得ω=2,由此结合三角函数的周期公式加以计算,即可得到函数的最小正周期.
解答: ∵函数表达式为y=3sin(2x+),
∴ω=2,可得最小正周期T=||=||=π
故答案为:π
点评: 本题给出三角函数表达式,求函数的最小正周期,着重考查了函数y=Asin(ωx+φ)的周期公式的知识,属于基础题.
13. 直线的倾斜角是 。
参考答案:
(或填)
14. 已知函数,则
参考答案:
4
15. 函数y=|x2﹣4x|的增区间是 .
参考答案:
[0,2]和[4,+∞)
【考点】分段函数的应用.
【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】画出函数y=|x2﹣4x|的图象,数形结合可得答案.
【解答】解:函数y=|x2﹣4x|=的图象如下图所示:
由图可得:函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0,2]和[4,+∞),(区间端点可以为开),
故答案为:[0,2]和[4,+∞)
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的对折变换,函数的单调区间,数形结合思想,难度中档.
16. 已知是上的奇函数,且时,,则不等式的解集为__________.
参考答案:
略
17. 对于任意的正整数,,定义,如:,
对于任意不小于2的正整数,,设……+,
……+,则= .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)函数对任意a,b都有当时,.
(1)求证:在R上是增函数. (2)若,解不等式.
参考答案:
(1)略 (2)
19. (本小题满分12分)
将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为.
(Ⅰ)求直线与圆有公共点的概率;
(Ⅱ)求方程组只有正数解的概率。
参考答案:
解:(Ⅰ)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.
因为直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1有公共点,所以有
,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}.
∵满足条件<25的情况(a,b)有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)共13种情况.
所以,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是---6分
20. (本题满分12分)
在直角坐标系中,点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为。
(1)求曲线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。
①以线段为直径的圆过能否过坐标原点,若能求出此时的值,若不能说明理由;
②求四边形面积的取值范围。
参考答案:
(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为. (4分)
(2)①设直线,,其坐标满足
消去并整理得,故. (6分)
以线段为直径的圆过能否过坐标原点,则,即.
而,
于是,化简得,所以. (8分)
②由①,,
将上式中的换为得,
由于,故四边形的面积为,(10分)
令,则,
而,故,故,当直线或的斜率有一个不存在时,另一个斜率为,不难验证此时四边形的面积为,故四边形面积的取值范围是.
略
21. (本小题满分12分)已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象(如图)所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求这个函数的单调增区间。
参考答案:
(1) (2)
22. (本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求该函数的值域;
(2)求不等式的解集;
(3)若对于 恒成立,求m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)(3)