江苏省盐城市东台后港中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=|sinx+2cosx|+|2sinx﹣cosx|的最小正周期为( )
A.2π B.π C. D.
参考答案:
C
【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】由题意,不难发现sinx和cosx相互置换后结果不变.根据诱导公式化简可得周期.
【解答】解:由f(x)的表达式可知,sinx和cosx相互置换后结果不变.
∴f(x+)=|sin(x+)+2cos(x+)|+|2sin(x+)﹣cos(x+)|=|cosx﹣2sinx|+|2cosx+sinx|=f(x);
可见为f(x)的周期,
下面证明是f(x)的最小正周期.
考察区间[0,],当0≤x≤时,f(x)=2cosx,f(x)单调递减,f(x)由2单调递减至;
当≤x≤时,f(x)=2sinx,f(x)单调递增,f(x)由单调递增至2;
由此可见,在[0,]内不存在小于的周期,由周期性可知在任何长度为的区间内均不存在小于的周期;所以即为f(x)的最小正周期,
故选C
2. 已知方程的解为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积及体积为
正视图 侧视图 俯视图
A. B.C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 如图是求样本x1,x2,…,x10平均数的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
6. 在△ABC中,,则a等于( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 10
参考答案:
A
【分析】
根据余弦定理求解.
【详解】由余弦定理得:,
因此,选A.
【点睛】本题考查余弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.
7. 已知奇函数f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角,则( )
A. f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ) C.f(sinα)<f(cosβ) D.f(sinα)>f(cosβ)
参考答案:
C
【考点】余弦函数的单调性.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】由“奇函数y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数”可知f(x)在[0,1]上为单调递减函数,再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β>,转化为α>﹣β,两边再取正弦,可得sinα>sin(﹣β)=cosβ>0,由函数的单调性可得结论.
【解答】解:∵奇函数y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数,
∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数,
∴f(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数,
又α、β为锐角三角形的两内角,
∴α+β>,
∴α>﹣β,
∴sinα>sin(﹣β)=cosβ>0,
∴f(sinα)<f(cosβ).
故选C.
【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用,还考查了三角函数的单调性.属中档题.
8. 化简下列式子:其结果为零向量的个数是( )
① ; ②;
③; ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
D
9. 对于定义域为R的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)在(﹣∞,x0)和(x0,+∞)上与x轴均有交点,则称x0为函数f(x)的一个“界点”.则下列四个函数中,不存在“界点”的是( )
A.f(x)=x2+bx﹣1(b∈R) B.f(x)=|x2﹣1|
C.f(x)=2﹣|x﹣1| D.f(x)=x3+2x
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【分析】判断函数与x轴交点个数,由此能求出结果.
【解答】解:在A中,f(x)=x2+bx﹣1,b∈R,
△=b2+4>0,函数与x轴有两个不同的交点,故A存在“界点”;
在B中,f(x)=|x2﹣1|=,与x轴有两个交点(﹣1,0),(1,0),故B存在“界点”;
在C中,f(x)=2﹣|x﹣1|与x轴有两个交点(﹣1,0),(3,0),故C存在“界点”;
在D中,f(x)=x3+2x与x轴只有一个交点,故D不存在“界点”.
故选:D.
10. 两个相关变量满足如下关系:
2
3
4
5
6
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程:=9.4x+9.2,表中有一数据模糊不清,请推算该数据是( )
A.37 B.38.5 C.39 D.40.5
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知:集合,定义集合运算A※A=,则A※A= 。w.w.w.k.s.5
参考答案:
12. 若f(x)=|log2x|﹣m有两个零点x1,x2(x1>x2),则的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由题意可知:求得f(x)的两个零点,则=22m+4()2m=22m+22﹣2m≥2=2=4.
【解答】解:由题意可知:f(x)=|log2x|﹣m有两个零点x1,x2(x1>x2),则x1=2m,x2=()m,
=22m+4()2m=22m+22×2﹣2m=22m+22﹣2m≥2=2=4,
∴的最小值4.
故答案为:4.
【点评】本题考查函数零点定理的判定,考查含绝对值的函数的零点判断,基本不等式的性质,属于中档题.
13. 已知等比数列{an}满足,则________.
参考答案:
【分析】
由等比数列的下标性质先求再求.
【详解】由等比数列的性质可得,于是,解得.
又,所以.
【点睛】本题考查等比数列的基本性质. 在等比数列中,若,则.特别地,若,则.
14. 计算 lg + lg8+lg5 lg20+(lg2) =___________
参考答案:
11
15. 函数的定义域是
参考答案:
略
16. 设向量,若满足,则 .
参考答案:
略
17. 函数的增区间为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知在平面直角坐标系xoy中,直线AB的方程为3x﹣2y+6=0,直线AC的方程为2x+3y﹣22=0,直线BC的方程为3x+4y﹣m=0.
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)当△ABC的BC边上的高为1时,求m的值.
参考答案:
考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系.
专题: 直线与圆.
分析: (1)由两直线方程得到两直线的斜率,由斜率之积等于﹣1得到直线AB与AC互相垂直,从而说明△ABC为直角三角形;
(2)联立方程组求得A的坐标,然后由A到BC边的距离为1求得m的值.
解答: (1)直线AB的斜率为,
直线AC的斜率为,
∵kAB?kAC=﹣1,
∴直线AB与AC互相垂直,
因此,△ABC为直角三角形;
(2)解方程组,得,即A(2,6),
设点A到直线BC的距离为d,则,
依题意有d=1,即,即|30﹣m|=5,解得m=25或35.
点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系,考查了点到直线距离公式的应用,是基础题.
19. 在某市的一个中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班的参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05,第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率直方图;
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由)
参考答案:
略
20. 本小题满分13分)平面内给定三个向量
(1)求
(2)若,求实数的值.
参考答案:
解:
………………6分
………………10分
………………13分
略
21. 某旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,天天客满。公司欲提高档次,并提高租金。如果每间房每日租金增加2元,客房出租就减少10间,若不考虑其他因素,公司将房租金提高多少时,每天客房的租金总收入最高?
参考答案:
设客房每间租金提高2元时,租金总收入为元,
则=, …6分
则当时,=8000……………………9分
答:客房每间租金提高到40元时,每天房租总收入最高为8000元。………………10分
22. 已知,函数,当时, 。
(1)求常数的值;
(2)设且,求的单调区间。
参考答案:
(1),
又
(2)由(1)得,
又由,得,,
其中当时,
单调递增,即
因此的单调增区间为。ks5u
又因为当时,ks5u
单调递减,即。
因此的单调减区间为。
略