湖北省随州市蔡河镇中心中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在长方体中,,则二面角的大小为:
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
参考答案:
D
2. 已知函数的部分图像,则函数的解析式( )
A B
C D
参考答案:
B
3. 已知数列{an}满足,(且),且数列是递增数列,数列是递减数列,又,则
A. -5050 B. 5050 C. -4950 D. 4950
参考答案:
A
【分析】
根据已知条件可以推出,当为奇数时,,当为偶数时,,因此去绝对值可以得到,,利用累加法继而算出结果.
【详解】,即,
或,
又,
.
数列为递增数列,数列为递减数列,
当为奇数时,,当为偶数时,,
.
.故选A.
【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式,数列单调性的应用,以及并项求和法的应用。
4. 函数f(x)=log2(x2﹣x﹣2)的单调递减区间是( )
A.(﹣∞,﹣1) B. C. D.(2,+∞)
参考答案:
A
【考点】复合函数的单调性.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】令t=x2﹣x﹣2,可得函数f(x)=log2t,由t>0 求得函数的定义域,本题即求函数t在定义域内的减区间,再利用二次函数的性值可得结论.
【解答】解:令t=x2﹣x﹣2,可得函数f(x)=log2t,∴t>0,∴x<﹣1,或x>2,
故函数的定义域为{x|x<﹣1,或x>2 }.
故本题即求函数t在定义域内的减区间.
利用二次函数的性值可得t在定义域内的减区间为(﹣∞,﹣1),
故选:A.
【点评】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质,属于中档题.
5. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=8,b=4,A=60°,则cosB=( )
A. B. C.﹣D.﹣
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可得:sinB==,由b<a,可得范围B<60°,利用同角三角函数基本关系式即可得解cosB的值.
【解答】解:∵a=8,b=4,A=60°,
∴由正弦定理可得:sinB===,
∵b<a,
∴B<60°,
∴cosB=.
故选:A.
6. 已知,则数列的前项和为
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知两个球的表面积之比为,则这两个球的半径之比为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),则f(4)的值为( )
A.16 B.2 C. D.
参考答案:
C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】求出幂函数的解析式,然后求解函数值即可.
【解答】解:设幂函数为y=xα,
∵幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),
∴=2α,
解得α=.y=x.
f(4)==.
故选:C.
9. 下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是( )
A.a≥b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.|a|>|b|
参考答案:
A
解析:由a≥b+1>b,从而a≥b+1?a>b;反之,如a=4,b=3.5,则4>3.54≥3.5+1,故a>b a≥b+1,故A正确.
10. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:对A,函数在上为增函数,符合要求;
对B,在上为减函数,不符合题意;
对C,为上的减函数,不符合题意;
对D,在上为减函数,不符合题意.
故选A.
考点:函数的单调性,容易题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个扇形的周长是6,该扇形的中心角是1弧度,该扇形的面积是_______
参考答案:
2
略
12. 若m>0,且关于x的方程在区间[0,1]上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
(0,1]∪[3,+∞)
13. 若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行,则实数a的值为 .
参考答案:
-2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】根据两条直线平行,斜率相等,即可得出结论.
【解答】解:∵直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行,
∴1=﹣,
∴a=﹣2,显然两条直线不重合.
故答案为﹣2.
14. 已知是与4的等差中项,则的最小值为____.
参考答案:
8
【分析】
根据等差数列的性质得到,原式可化为进而得到结果.
【详解】是与的等差中项,故得到
等号成立的条件是
故答案为:8.
【点睛】本题考查了二元化一元的思想,以及均值不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
15. 已知函数,则函数的增区间是 .
参考答案:
可写为开区间;
16. 若A是△ABC的一个内角,且sinA+cosA=,则△ABC的形状是_______
参考答案:
钝角三角形
略
17. (5分)若角θ的终边过点P(4a,﹣3a)(a<0),则cosθ= .
参考答案:
考点: 任意角的三角函数的定义.
专题: 三角函数的求值.
分析: 由题意可得 x=4a,y=﹣3a,r=5|a|,当a<0时,r=﹣5a,代入三角函数的定义进行运算,综合两者可得答案.
解答: ∵:∵角θ的终边过点P(4a,﹣3a)(a≠0),
∴x=﹣4a,y=3a,r=5|a|.a<0,r=﹣5a.
cosθ==.
故答案为:﹣.
点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,本题解题的关键是求出r值,首先用绝对值来表示.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合.
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
试题解析:解:(1)∵,
∴,
∴;
(2)∵,∴,
①当时,∴,即;
②当时,∴,∴.
考点:1.集合的运算;2.集合之间的关系.
19. (本小题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
参考答案:
解:(1)令,
由 得
---------------------------------------6
自变量的范围不写扣2分
(2)在(1,+∞)上单调递减 ------------------------------7
设任意的,且,
------------------9
令,
则
又
,即 --------------------13
在上单调递减. -------------------------------14
20. (本小题满分12分)已知点
(1)若,求的值;
(2)若,其中为坐标原点,求的值。
参考答案:
(1) A(1,0),B(0,1),
,
化简得 (若,则,上式不成立)
所以 (6分)
(2),
,
(12分)
21. 已知函数 (为实常数).
(1)若,求的单调区间;
(2)若,设在区间的最小值为,求的表达式;
(3)设,若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
参考答案:
解析:(1)
∴的单调增区间为(),(-,0) 的单调减区间为(-),()
(2)由于,当∈[1,2]时,
10 即
20 即
30 即时
综上可得
(3) 在区间[1,2]上任取、,且
则
(*)
∵ ∴
∴(*)可转化为对任意、
即
10 当
20 由 得 解得
30 得
所以实数的取值范围是
略
22. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立.
(1)试求当a1为何值时,数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式;
(2)在(1)的条件下,当n为何值时,数列的前n项和Tn取得最大值.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】(1)由已知数列递推式可得an+1=2an,再由数列{an}是等比数列求得首项,并求出数列通项公式;
(2)把数列{an}的通项公式代入数列,可得数列是递减数列,可知当n=9时,数列的项为正数,n=10时,数列的项为负数,则答案可求.
【解答】解:(1)由an+1=1+Sn得:当n≥2时,an=1+Sn﹣1,
两式相减得:an+1=2an,
∵数列{an}是等比数列,∴a2=2a1,
又∵a2=1+S1=1+a1,解得:a1=1.
得:;
(2),可知数列是一个递减数列,
∴,
由此可知当n=9时,数列的前项和Tn取最大值.