河北省石家庄市晋州东里庄乡中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 两圆和的位置关系是( )
.相切 .相交 .内含 .外离
参考答案:
B
2. (5分)在下列命题中,正确的个数是()
①若||=||,=;
②若=,则∥;
③||=||;
④若∥,∥,则∥.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
考点: 平行向量与共线向量.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据向量相等的概念可以判断①②是否正确;
根据相反向量可以判断③是否正确;
根据向量平行的概念判断④是否正确.
解答: 对于①,||=||时,与的方向不一定相同,∴=不一定成立,命题错误;
对于②,当=时,∥,命题正确;
对于③,向量与是相反向量,∴||=||,命题正确;
对于④,当∥,∥时,若=,则与的方向不能确定,∴∥不一定成立,命题错误.
综上,正确的命题是②③.
故选:B.
点评: 本题考查了平面向量的基本概念的应用问题,是基础题目.
3. 直线x+=0的倾斜角为( )
A.60° B.90° C.120° D.不存在
参考答案:
B
【考点】I2:直线的倾斜角.
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出.
【解答】解:∵直线x+=0的斜率不存在,
∴倾斜角为,即为90°.
故选:B.
4. 设平面向量,则:
A. B. C.10 D.-10
参考答案:
A
5. 设a、b、c为非零实数,则x=+++的所有值组成的集合为( )
A.{4} B.{-4} C.{0} D.{0,-4, 4}
参考答案:
D
略
6. 已知在中,为ABC的面积,若向量满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 命题p:“”,则为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
由全称命题的否定为特称命题,可得命题p:“ x∈(0,2π),cosx>-2x”,则p为:x0∈(0,2π),cosx0≤-2x,故选D.
8. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是().
A. B. C. D.
参考答案:
A
解:项、在上为增函数,符合题目要求.
故选.
9. 半径为πcm,圆心角为120°所对的弧长为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
将扇形的圆心角化为弧度,然后利用扇形的弧长公式可计算出结果.
【详解】扇形的圆心角为弧度,因此,该扇形的弧长为.
故选:D.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算,在计算时要注意将扇形的圆心角化为弧度,考查计算能力,属于基础题.
10. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程的解个数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
12. 已知母线长为6,底面半径为3的圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,则球的体积是
参考答案:
略
13. 已知等差数列的首项及公差d都是整数,前n项和为().若,则通项公式 ▲ .
参考答案:
14. 在平行四边形ABCD中,若,则向量的坐标为__________.
参考答案:
(1,2)
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则可知,可求的坐标.
【详解】平行四边形中,.
.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则,属于基础题.
15. 在等比数列中,已知,,则__________.
参考答案:
20
16. 若f(x)=ax+b(a>0),且f(f(x))=4x+1,则f(3)= .
参考答案:
17. (5分)已知函数f(x)=3x+x﹣3的零点为x1,函数g(x)=log3x+x﹣3的零点为x2,则x1+x2= .
参考答案:
3
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 函数g(x)=log3x+x﹣3的零点即方程log3x+x﹣3=0的根,从而化为x=33﹣x;函数f(x)=3x+x﹣3的零点可化为方程3x=3﹣x的根,从而可得x1=3﹣x2,从而解得.
解答: 函数g(x)=log3x+x﹣3的零点即方程log3x+x﹣3=0的根,
即log3x=﹣x+3,
即x=33﹣x;
同理,函数f(x)=3x+x﹣3的零点可化为方程3x=3﹣x的根,
且方程3x=﹣x有且只有﹣个根,
故x1=3﹣x2,
故x1+x2=3;
故答案为:3.
点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的应用,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知为锐角,且cos=,cos=,求的值.
参考答案:
略
19. (13分)平面内有四边形ABCD,=2,且AB=CD=DA,=,=,M是CD的中点.
(1)试用,表示;
(2)若AB上有点P,PC和BM的交点为Q,已知PQ:QC=1:2,求AP:PB和BQ:QM.
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: (1)运用向量的中点表示,及向量的数乘,即可得到向量BM;
(2)设=t,=,运用向量的三角形法则,及平面向量的基本定理,得到λ,t的方程,解得即可.
解答: (1)由于M是CD的中点,
则=()=()
=,
(2)设=t,则==+
=t=()
设==,
由于不共线,则有
,
解方程组,得λ=,t=.
故AP:PB=2:1,BQ:QM=4:5.
点评: 本题考查向量共线的定理和平面向量基本定理的运用,考查运算能力,属于基础题.
20. (本小题9分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=,PD=CD=2。
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值。
参考答案:
略
21. 已知数列{an},Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N*)
(Ⅰ)求证:数列{an+}为等比数列;
(Ⅱ)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn的表达式.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8D:等比关系的确定.
【分析】(Ⅰ)由3an=2Sn+n,类比可得3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2),两式相减,整理即证得数列{an+}是以为首项,3为公比的等比数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an+=?3n?an=(3n﹣1),Sn=﹣,分组求和,利用等比数列与等差数列的求和公式,即可求得Tn的表达式.
【解答】(Ⅰ)证明:∵3an=2Sn+n,
∴3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2),
两式相减得:3(an﹣an﹣1)=2an+1(n≥2),
∴an=3an﹣1+1(n≥2),
∴an+=3(an﹣1+),又a1+=,
∴数列{an+}是以为首项,3为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得an+=?3n﹣1=?3n,
∴an=?3n﹣=(3n﹣1),
∴Sn= =(﹣n)=﹣,
∴Tn=S1+S2+…+Sn=(32+33+…+3n+3n+1)﹣﹣(1+2+…+n)
=?﹣﹣
=﹣.
【点评】本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,突出考查分组求和,熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键,属于难题.
22. 已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论函数f(x)的单调递增区间.
参考答案:
解:(1)
∴的最小正周期
的最大值为2.
(2)由
∴函数的单调递增区间为.