福建省宁德市古田第三中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,,记函数,则函数的所有零点的和为( )
A.5 B.-5 C.10 D.-10
参考答案:
A
2. 已知数列,则是这个数列的第( )项
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
参考答案:
D
由,得
即 ,
解得 ,
故选D
3. 函数f(x)=x3﹣2x2﹣x+2的零点是( )
A.1,2,3 B.﹣1,1,2 C.0,1,2 D.﹣1,1,﹣2
参考答案:
B
【考点】函数的零点.
【分析】利用分组分解法可将函数f(x)的解析式分解成f(x)=(x+1)?(x﹣1)?(x﹣2)的形式,根据函数零点与对应方程根的关系,解方程f(x)=0,可得答案.
【解答】解:∵f(x)=x3﹣2x2﹣x+2
=x2(x﹣2)﹣(x﹣2)
=(x2﹣1)?(x﹣2)
=(x+1)?(x﹣1)?(x﹣2)
令f(x)=0
则x=﹣1,或x=1,或x=2
即函数f(x)=x3﹣2x2﹣x+2的零点是﹣1,1,2
故选B
4. 函数的实数解落在的区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:
5. 若方程ax2+bx+c=0的两实根为x1、x2,集合S={x|x>x1},T={x|x>x2},P={x|x0(a>0)的解集为
A.(S∪T)∩(P∪Q) B.(S∩T)∩(P∩Q) C.(S∪T)∪(P∪Q) D. (S∩T)∪(P∩Q)
参考答案:
D
6. 已知,若,则的值是( )
A. B. 或 C. ,或 D.
参考答案:
D
该分段函数的三段各自的值域为,而
∴∴;
7. 在等差数列中,若,则其前11项和 ( )
A.15 B.24 C.30 D.33
参考答案:
D
略
8. 如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为
A.84,4.84 B.84,1.6
C.85,1.6 D.85,4
参考答案:
C
略
9. .cos(-)的值等于( )
A. B.- C. D.-
参考答案:
B
略
10. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合A={1, 2, 3}, B={2, 4, 5}, 则______________.
参考答案:
略
12. 已知,,则 .
参考答案:
略
13. 若实数满足:,则 .
参考答案:
;
解析:据条件,是关于的方程的两个根,即
的两个根,所以;.
14. 如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在上)且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为,
则____________ .
参考答案:
15. 设集合={a2,a+b,0},则a2014+b2015= .
参考答案:
1
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】根据集合相等的条件建立条件关系,即可求出a,b的值,进而可得a2014+b2015的值.
【解答】解:∵集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},且A=B,
∴a≠0,则必有=0,即b=0,
此时两集合为A={a,0,1},集合Q={a2,a,0},
∴a2=1,
∴a=﹣1或1,
当a=1时,集合为P={1,0,1},集合Q={1,1,0},不满足集合元素的互异性.
当a=﹣1时,P={﹣1,0,1},集合Q={1,﹣1,0},满足条件,
故a=﹣1,b=0.
a2014+b2015=1,
故答案为:1.
16. 已知腰长为2的等腰直角△ABC中,M为斜边AB的中点,点P为该平面内一动点,若,则的最小值 ________.
参考答案:
如图建立平面直角坐标系,
∴
,
当sin时,得到最小值为,故选。
17. 若直线与直线平行,则__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)设为实数,函数,,求的最小值.
参考答案:
解:①当时,
当,则函数在上单调递减,从而函数在上的最小值为.
若,则函数在上的最小值为,且.…………4分
②当时,函数
若,则函数在上的最小值为,且
若,则函数在上单调递增,从而函数在上的最小值为.…………8分
综上,当时,函数的最小值为,…………10分
当时,函数的最小值为,…………12分
当时,函数的最小值为.…………14分
19. 已知数列{an}满足,.
(Ⅰ)若,求证:对一切的,,都有;
(Ⅱ)若,记,求证:数列{bn}的前n项和;
(Ⅲ)若,求证:.
参考答案:
(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【分析】
(Ⅰ)由得,当且仅当时等号成立;而可得,进而证得结论;(Ⅱ)由整理可得:;代入可得,进而,根据等比数列求和公式可证得结论;(Ⅲ)由整理可得:,可知,利用累加的方法可证得结论.
【详解】(Ⅰ)由得:
故有,当且仅当时等号成立
而,故有,即有
对一切的,,都有
(Ⅱ)当时,有,则有:
,即有
数列的前项和
(Ⅲ)由得:
即
累加可得:
【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用问题,涉及到放缩法证明不等式、数列中的递推关系、等比数列求和公式的应用、累加累乘法的应用等知识,难点在于对数列通项进行合理的放缩,属于难题.
20. (12分)函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象,求直线y=与函数y=g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.
参考答案:
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)直接由五点作图的第一点求得φ值,则函数解析式可求;
(2)由三角函数的图象平移求得函数g(x)的解析式,再由求得直线y=与函数y=g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.
解答: (1)由五点作图的第一点可知,
φ=0,解得:φ=.
∴;
(2)依题意=,
由直线与函数的图象相交得,
即,
∴或.
即或.
又∵x∈(0,π),故或.
∴交点坐标为.
点评: 本题考查了利用函数的部分图象求函数解析式,考查了三角函数的图象平移,是中档题.
21. (本大题满分15分)
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
(其中x是仪器的月产量).
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
参考答案:
22. 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2﹣Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a3,a4的值并猜想这个数列的通项公式
(Ⅱ)证明数列{an}是等比数列.
参考答案:
考点:等比关系的确定;归纳推理.
专题:计算题;探究型.
分析:(I)由已知中数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2﹣Sn,我们依次取n=1,2,3,4,即可求出a1,a2,a3,a4的值,然后分析所得前4项,分子和分母的分布规律,即可推断出这个数列的通项公式
(Ⅱ)由an=2﹣Sn可得an﹣1=2﹣Sn﹣1,两式相减即可判断出数列{an}的相邻两项的关系,进而得到数列{an}是等比数列.
解答: 解:(1)
猜想
(2)证明:
,
∴
又∵a1=2﹣S1=2﹣a1,
∴
点评:本题考查的知识点是等比关系的确定及归纳推理,其中在确定等比数列时的关键是判断an,an﹣1是否为一个常数.