辽宁省丹东市东港第三职业中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的( )
A.平均数不变,方差不变 B.平均数改变,方差改变
C.平均数不变,方差改变 D.平均数改变,方差不变
参考答案:
D
略
2. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 函数在区间的简图是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据函数解析式可得当x时,y=sin[(2]>0,故排除A,D;
当x时,y=sin0=0,故排除C,从而得解.
【详解】解:当时,,故排除A,D;
当时,,故排除C;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,考查了五点法作图,特值法,属于基础题.
4. 已知函数,且的图象向左平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称,则m的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由函数图像的平移变换得的图象向左平移个单位,得到,再结合三角函数的性质运算即可得解.
【详解】解:,
将的图象向左平移个单位,得到,
因为平移后图象关于对称,所以,
可得,,,,
因为,
所以的最小值为,
故选C.
【点睛】本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质,属基础题.
5. G为△ABC内一点,且满足则G为△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
参考答案:
D
设边BC的中点为D,因为,即G为线段AD的三等分点(靠近点D的那个),所以G为△ABC的重心。
6. 已知、是两个不共线向量,设,,,若A、B、C三点共线,则实数的值等于 ( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2
参考答案:
C
,故选C.
7. 设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )ks5u
A.是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
参考答案:
D
略
8. 已知数列,,,具有性质:对任意,,与两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题:
①数列,,具有性质;
②数列,,,具有性质;
③若数列具有性质,则;
④若数列,,具有性质,则,
其中真命题有( ).
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
B
【考点】8B:数列的应用.
【分析】根据数列,,,具有性质:对任意,,与两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,可知①错误,其余都正确.
【解答】解:∵对任意,,与两数中至少有一个是该数列中的项,
①数列,,中,和都不是该数列中的数,故①不正确;
②数列,,,,与两数中都是该数列中的项,并且是该数列中的项,故②正确;
③若数列具有性质,则与两数中至少有一个是该数列中的一项,
∵,,
而不是该数列中的项,∴是该数列中的项,
∴;故③正确;
④∵数列,,具有性质,,
∴与至少有一个是该数列中的一项,且,
若是该数列中的一项,则,
∴,易知不是该数列的项
∴,∴,
若是该数列中的一项,则或或,
①若同,
②若,则,与矛盾,
③,则,
综上,
故选.
9. (5分)若sin(+θ)=,则cos(π﹣θ)等于()
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
参考答案:
A
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: 由已知及诱导公式可求得cosθ的值,从而化简可求后代入即可求值.
解答: 解:sin(+θ)=cosθ=,
则cos(π﹣θ)=﹣cosθ=﹣,
故选:A.
点评: 本题主要考察了诱导公式的应用,属于基础题.
10. 在△ABC中,若a2+b2﹣c2<0,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.都有可能
参考答案:
A
【考点】三角形的形状判断.
【分析】利用余弦定理cosC=即可判断.
【解答】解:∵在△ABC中,a2+b2﹣c2<0,
∴cosC=<0,
∴<C<π.
∴△ABC是钝角三角形.
故选A.
【点评】本题考查三角形的形状判断,考查余弦定理的应用,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递减区间是______________.
参考答案:
(-∞,1)
函数有意义,则: ,解得: 或 ,
二次函数 在区间上单调递减,在区间上单调递增,
函数 是定义域内的增函数,
结合复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.
12. .如图1,等腰直角三角形是的直观图,它的斜边,则的面积为 ;
参考答案:
略
13. 使函数取得最小值的x的集合是 .
参考答案:
{x|x=4kπ+2π,k∈Z}
【考点】余弦函数的图象.
【分析】由条件根据余弦函数的图象特征,余弦函数的最小值,求得x的集合.
【解答】解:使函数取得最小值时, =2kπ+π,x=4kπ+2π,k∈Z,
故x的集合是为{x|x=4kπ+2π,k∈Z},
故答案为:{x|x=4kπ+2π,k∈Z}.
14. 已知点在直线的两侧,则的取值范围为
参考答案:
(-5,3)
15. f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在 (﹣∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(),c=f(0.20.6),则a,b,c大小关系是 .
参考答案:
c>a>b
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】对于偶函数,有f(x)=f(|x|),在[0,+∞)上是减函数,所以,只需比较自变量的绝对值的大小即可,即比较3个正数|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小,这3个正数中越大的,对应的函数值越小.
【解答】解:f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在 (﹣∞,0]上是增函数,
故f(x)在[0,+∞)上是减函数,
∵a=f(log47),b=f(),c=f(0.20.6),
∵log47=log2>1,∵ =﹣log23=﹣log49<﹣1,0<0.20.6<1,
∴|log23|>|log47|>|0.20.6|>0,∴f(0.20.6)>f( log47)>f(),即 c>a>b,
故答案为:c>a>b.
【点评】本题考查偶函数的性质,函数单调性的应用,属于中档题.
16. 用适当的符号填空
(1)
(2),
(3)
参考答案:
17. 已知集合A={﹣1,1},B={x|ax+1=0},若B?A,则实数a的所有可能取值的集合为 .
参考答案:
{﹣1,0,1}
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】阅读型.
【分析】根据B?A,利用分类讨论思想求解即可.
【解答】解:当a=0时,B=?,B?A;
当a≠0时,B={﹣}?A,﹣=1或﹣=﹣1?a=1或﹣1,
综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1,0,1}.
故答案是{﹣1,0,1}.
【点评】本题考查集合的包含关系及应用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四边形ABCD中,,,.
(1)若,求△ABC的面积;
(2)若,,求AD的长.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由余弦定理求出BC,由此能求出△ABC的面积.
(2)设∠BAC=θ,AC=x,由正弦定理得从而,在中,由正弦定理得,建立关于θ的方程,由此利用正弦定理能求出sin∠CAD.再利用余弦定理可得结果.
【详解】(1)因,,,
所以,即,
所以.
所以.
(2)设,,则,
在中,由正弦定理得:,
所以;
在中,,所以.
即,化简得:,
所以,
所以,,
所以在中,.
即,解得或(舍).
【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用,考查了引入角的技巧方法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
19. 设函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
参考答案:
【考点】正弦函数的单调性.
【分析】(1)由题意可得f(0)=f (),即tanφ=1,结合0<φ<,可得φ的值.
(2)利用正弦函数的单调性,求得函数y=f(x)的单调增区间.
【解答】解:(1)由题意得f(x)的图象的一条对称轴是直线x=,
可得 f(0)=f (),即sinφ=cosφ,即tanφ=1,又0<φ<,∴φ=.
(2)由(1)知f(x)=sin(x+),由2kπ﹣≤x+≤2kπ+(k∈Z),求得2kπ﹣π≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴函数f(x)的单调增区间为[2kπ﹣π,2kπ+](k∈Z).
20. 设函数f(x)=ln(2x﹣m)的定义域为集合A,函数g(x)=﹣的定义域为集合B.
(Ⅰ)若B?A,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若A∩B=?,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法;交集及其运算.
【分析】(Ⅰ)分别求出集合A、B,根据B?A,求出m的范围即可;
(Ⅱ)根据A∩B=?,得到关于m的不等式,求出m的范围即可.
【解答】解:由题意得:A={x|x>},B={x|1<x≤3},
(Ⅰ)若B?A,则≤1,即m≤2,
故实数m的范围是(﹣∞,2];
(Ⅱ)若A∩B=?,则≥3,
故实数m的范围是[6,+∞).
18.已知sinα+cosα=,且0<α<π
(Ⅰ)求tanα的值
(Ⅱ)求的值.
【答案】
【解析】
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】(Ⅰ)由sinα+cosα=,两边平方得:,再由α的范围求出sinα﹣cosα,进一步得到sinα,cosα的值,则tanα的值可求;
(Ⅱ)利用三角函数的诱导公式化简,再把tanα的值代入计算得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由sinα+cosα=,两边平方得:,
∵0<α<π,
∴.
∴,.
故;
(Ⅱ)=
=.
21. 已知,
(1)求的值;
(2)求的值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)利用平方关系。结合即可得和根据即可
(2)结合诱导公式化简,分子,分母同时除得,利用(1)的结果即可。
【详解】(1)
,,.
(2) .
由(1)得
所以
【点睛】本题主要考察了同角三角函数的基本关系,平方关系以及诱导公式。熟练掌握诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)。
22. (1)化简:
(2)计算:
参考答案:
略