黑龙江省哈尔滨市杜家中学2022年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 三个数0.67,70.6,log0.67的大小关系为( )
A. B.0.67<70.6<log0.67
C. D.
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵三个数0<0.67<1<70.6,log0.67<0,
∴log0.67<0.67<70.6,
∴故选:D.
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2. 图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数
参考答案:
D
4. 不等式的解集是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 已知向量,,,若,则角( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由向量点乘的公式带入,可以得到,再由求出角的精确数值.
【详解】由,及可得
,化简得
或
又,则为唯一解,答案选D.
【点睛】1、若向量,则向量点乘;
2、解三角方程时,若,则或;
3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.
6. 在三棱锥A-BCD中,已知所有棱长均为2,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
取的中点,连接、,于是得到异面直线与所成的角为,然后计算出的三条边长,并利用余弦定理计算出,即可得出答案。
【详解】如下图所示,取的中点,连接、,
由于、分别为、的中点,则,且,
所以,异面直线与所成的角为或其补角,
三棱锥是边长为的正四面体,则、均是边长为的等边三角形,
为的中点,则,且,同理可得,
中,由余弦定理得,
因此,异面直线与所成角的余弦值为,故选:A。
【点睛】本题考查异面直线所成角计算,利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下:
(1)一作:平移直线,找出异面直线所成的角;
(2)二证:对异面直线所成的角进行说明;
(3)三计算:选择合适的三角形,并计算出三角形的边长,利用余弦定理计算所求的角。
7. (5分)圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆面积最大时,圆心坐标为()
A. (﹣1,1) B. (1,﹣1) C. (﹣1,0) D. (0,﹣1)
参考答案:
D
考点: 圆的一般方程.
专题: 直线与圆.
分析: 若圆面积最大时,则半径最大,求出k的值,即可得到结论.
解答: 当圆面积最大时,半径最大,此时半径r==,
∴当k=0时,半径径r=最大,
此时圆心坐标为(0,﹣1),
故选:D
点评: 本题主要考查圆的一般方程的应用,根据条件求出k的值是解决本题的关键.
8. (5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(﹣x)=0,当m>0时,f(x﹣m)>f(x),则不等式f(﹣2+x)+f(x2)<0的解集为()
A. (2,1) B. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (﹣1,2) D. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
参考答案:
B
考点: 抽象函数及其应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先由条件f(x)+f(﹣x)=0,得f(﹣x)=﹣f(x),故f(x)是奇函数,再由条件f(x﹣m)>f(x)得知f(x)是减函数,
将不等式转化为不等式f(﹣2+x)+f(x2)<0等价为f(﹣2+x)<﹣f(x2)=f(﹣x2),然后利用函数是减函数,进行求解.
解答: 因为函数f(x)满足f(x)+f(﹣x)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x),∴f(x)是奇函数,
当m>0时,f(x﹣m)>f(x),∴f(x)是减函数,
所以不等式f(﹣2+x)+f(x2)<0等价为f(﹣2+x)<﹣f(x2)=f(﹣x2),
所以﹣2+x>﹣x2,即x2﹣2+x>0,解得x<﹣2或x>1,
即不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞).
故选:B.
点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,等价转化是解题的关键.
9. 在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知,若,则等于( )
A.3 B.5 C.7 D.9
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个牧羊人赶着一群羊通过6个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则原来牧羊人到底赶着________只羊.
参考答案:
2
略
12. 方程( arccos x ) 2 + ( 2 – t ) arccos x + 4 = 0有实数解,则t的取值范围是 。
参考答案:
[ 6,+ ∞ )
13. 已知数列{an}满足,,则 。
参考答案:
14. 函数的图象恒过一定点,这个定点是 ▲ 。
参考答案:
15. 用“二分法”求方程在区间内有实根,取区间中点为,那么下一个有根的闭区间是 .
参考答案:
[1,1.5]
16. 等差数列的前项和为,且则 ▲ .
参考答案:
12
17. 、函数最小正周期为
参考答案:
π
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示
[1 000,1 500))
(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
参考答案:
(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500-3 000)=0.15.
(2)∵0.000 2×(1 500-1 000)=0.1,0.000 4×(2 000-1 500)=0.2,
0.000 5×(2 500-2 000)=0.25,0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
所以,样本数据的中位数为=2 000+400=2 400(元).
19. 已知向量.
(1)若,求的值;
(2)若与垂直,求实数t的值。
参考答案:
20. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求证:AC⊥EF.
参考答案:
证明: (1)如图所示,连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点.∴PQ∥CD1.
而CD1平面DCC1D1,PQ//平面DCC1D1,
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图,取CD中点H,连接EH,FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点,在平行四边形CDD1C1中,FH//D1D.
而D1D⊥面ABCD,
∴FH⊥面ABCD,而AC面ABCD,
∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点,∴EH∥DB.
而AC⊥BD,∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线,所以AC⊥平面EFH,
而EF平面EFH,所以AC⊥EF.
21. 设集合,,若,,写出符合条件的所有集合.
参考答案:
,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}
【分析】
求得二次函数的值域和二次不等式,再写出集合的子集即可.
【详解】由题意知,,.
若,,所以,
所以,,,,,,,.
【点睛】本题考查集合子集的求解,属基础题.
22. 设函数是以2为周期的函数,且时,,
(1)、求
(2)、当时,求的解析式.
参考答案:
(1)
(2)当,,