2022-2023学年北京第七十九中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设全集,集合则为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
2. 数列首项为,为等差数列且,若则
A.3 B. 5 C.8 D.11
参考答案:
A
略
3. 若方程在内有解,则的图象是
参考答案:
D
略
4. 已知函数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:,即,又,
,所以,故选B.
考点:1、分段函数的解析式;2、函数的周期性及指数与对数的性质.
5. 双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为,则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
答案:B
6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 16π B. 12π C. D.
参考答案:
C
【分析】
先还原几何体,再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可.
【详解】由三视图还原原几何体如图,
该几何体为圆柱挖去两个圆锥,圆柱的底面半径为2,高是4,
圆锥的底面半径为2,高分别为1和3.
则该几何体的体积.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的体积的求解,属于基础题.
7. 二项式的展开式中,第三项的系数比第二项的二项式系数大44,则展开式的常数项为第( )项.
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
参考答案:
B
本题考查二项式通项,二项式系数。
二项式的展开式的通项为,因为第三项的系数比第二项的二项式系数大44,所以,即,解得
则;令得则展开式的常数项为第4项.故选B
8. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称,当时,,如果关于的方程有解,记所有解的和为S, 则S不可能为
A B C D
参考答案:
B
略
9. 已知函数的导函数图象如图所示,若为锐角三角形,则一定成立的是
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
略
10. 设函数的定义域为,若满足:①在内是单调函数; ②存在,使得在上的值域为,那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 cm2.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体为三棱锥P﹣ABC.该几何体可以看成是两个底面均为△PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,进而可得答案.
【解答】解:如图所示,
由三视图可知:
该几何体为三棱锥P﹣ABC.
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,
由几何体的俯视图可得:△PCD的面积S=×4×4=8cm2,
由几何体的正视图可得:AD+BD=AB=4cm,
故几何体的体积V=×8×4=cm3,
故答案为:.
12. 已知,则= .
参考答案:
13. 已知G为△ABC的重心,令,,过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点,且,,则= .
参考答案:
3
考点: 平面向量的基本定理及其意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 显然,根据G点为重心,从而可以用表示,而和共线,从而,而已知,从而会最后得到关于的式子:,从而得到,两式联立消去x即可求出答案.
解答: 解:如图,
=;
∴;
G为△ABC的重心;
∴,;
∴;
整理得,;
∴;
消去x得,;
∴.
故答案为:3.
点评: 考查向量加法、减法的几何意义,共线向量基本定理,重心的性质:重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍,以及向量加法的平行四边形法则,向量的加法、减法运算,平面向量基本定理.
14. 函数,则函数的所有零点所构成的集合为________.
参考答案:
【知识点】函数的零点问题 B9
.解析:当时,,∴∴当时,,
∴;当时,;
当时,
所以函数的所有零点所构成的集合为:,故答案为.
【思路点拨】欲求函数函数的零点,即求方程的解,下面分:当时,当时分别求出函数的所有零点所构成的集合即可.
15. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:4,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,其中A型号产品有16件,那么此样品容量为n= .
参考答案:
72
略
16. 如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点.则下列命题:
①直线A1G与平面AEF平行;
②直线D1D与直线AF垂直;③平面AEF截正方体所得的截面面积
为;④点C与点G到平面AEF的距离相等;⑤平面AEF截正方体所得两个几何体的体积比为.
其中正确命题的序号为___ ____.
参考答案:
③⑤
17. 已知函数f(x)=是奇函数,则sinα= .
参考答案:
﹣1
【考点】余弦函数的奇偶性.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin(x+α)=﹣cosx,故可取α=﹣,从而得到sinα=﹣1.
【解答】解:根据函数f(x)=是奇函数,可得sin(x+α)=﹣cosx,
故可取α=﹣,故sinα=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)
如图,四边形ABCD是正方形,PB^平面ABCD,MA^平面ABCD,PB=AB=2MA.
求证:(1)平面AMD∥平面BPC;
(2)平面PMD^平面PBD.
参考答案:
证明:(Ⅰ)∵PB^平面ABCD,MA^平面ABCD,∴PB∥MA.…………………2分
∵PBì平面BPC,MA (/平面BPC,∴MA∥平面BPC. ……………………4分
同理DA∥平面BPC, …………………………………………………5分
∵MAì平面AMD,ADì平面AMD,MA∩AD=A,
∴平面AMD∥平面BPC. …………………………………………………………7分
(Ⅱ)连结AC,设AC∩BD=E,取PD中点F,连接EF,MF.
∵ABCD为正方形,∴E为BD中点.又F为PD中点,∴EF∥=PB.
又AM∥=PB,∴AM∥=EF.∴AEFM为平行四边形. ………………10分
∴MF∥AE.
∵PB^平面ABCD,AEì平面ABCD,∴PB^AE.∴MF^PB. ………………12分
因为ABCD为正方形,∴AC^BD.∴MF^BD.
又,∴MF^平面PBD. ………………13分
又MFì平面PMD.∴平面PMD^平面PBD. …………………………………14分
19. 如图,椭圆经过点,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.
参考答案:
解:(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为,
所以,解得
又椭圆经过点,所以,
所以
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明:因为线段的中垂线的斜率为,
所以直线的斜率为,
所以可设直线的方程为
据得
设点,
所以,
所以.
因为,所以
所以点在直线上,
又点也在直线上,
所以三点共线.
20. 设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图;
(3)写出函数f(x)的值域.
参考答案:
(1)设顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得a=-2,
∴y=-2(x-3)2+4,即y=-2x2+12x-14.
设x<-2,则-x>2.
又f(x)为偶函数,
f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14,
即f(x)=-2x2-12x-14.
∴函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为
f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)函数f(x)的值域为(-∞,4.
21. 选修4-5:不等式选讲
已知,使不等式成立.
(1)求满足条件的实数t的集合T;
(2)若,,对,不等式恒成立,求的最小值.
参考答案:
解:(1)令,则,
由于使不等式成立,有.
(2)由(1)知,,根据基本不等式,
从而,当且仅当时取等号,
再根据基本不等式,当且仅当时取等号.
所以的最小值为18.
22. 已知函数满足,对于任意都有,且
,令.
(1)求函数的表达式;
(2)函数在区间上有两个零点,求的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
(2)①当时,可知函数在区间上单调递增,
又,,故函数在区间上只有一个零点,
②当时,则,而,,,
(ⅰ)若,由于,且,
此时,函数在区间上只有一个零点;
(ⅱ)若,由于且,此时,函数在区间上有两个不同的零点,
综上所述,当时,函数在区间上有两个不同的零点.
考点:二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用.
【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式.然后再借助题设函数在区间上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数的取值范围,从而使得问题获解.