2022-2023学年山东省临沂市赛博中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,若,则k等于
A.6 B.—6 C.12 D.—12
参考答案:
C
因为,所以,即,所以,解得,选C.
2. 复数z满足z(3i﹣4)=25(i是虚数单位),则z的共轭复数=( )
A.4+3i B.4﹣3i C.﹣4+3i D.﹣4﹣3i
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:z(3i﹣4)=25,∴z(3i﹣4)(﹣3i﹣4)=25(﹣3i﹣4),
∴z=﹣4﹣3i
则z的共轭复数=﹣4+3i.
故选:C.
3. 设则二项式的展开式中的系数为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 某锥体的正视图和侧视图如下图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 在各项均为正数的等比数列中,,成等差数列,是数列的前项的和,则
A.1008 B.2016 C.2032 D.4032
参考答案:
B
6. 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
【分析】本题考察三角函数的图象变化的基本方法,难度中等,但是包含很多细节,容易导致考生失误,常见的关注点有如下三点:(1)在自变量前存在系数时,要注意平移的大小,平移是针对于的变化,而不是函数内部整体;(2)关注两个图象关系,哪个是原始的函数图象,哪个是变化后的函数图像,避免审题失误;(3)关注变化前后图象的函数名,若问题是从变为(或反之),要注意应先利用诱导公式变名后,再利用图象变化原则进行变化。
【解】B.
首先分析哪个是原始函数,本题中,原始函数为,要将其变化为,明显是利用替换,再根据“左加右减”的原则可知,应该向左平移个单位,故选B.
7. 设a=20.3,b=0.32, c=logx(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a
参考答案:
B
略
8. 如右图所示的程序框图,执行该程序后输出的结果是 .
参考答案:
-1
第一次循环,;第二次循环,;
第三次循环,;第四次循环,;
第五次循环,,此时满足条件输出。
9. 记,,设为平面向量,则( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
10. 在空间中,下列命题正确的是( )
(A)平面内的一条直线垂直与平面内的无数条直线,则
(B)若直线与平面内的一条直线平行,则
(C)若平面,且,则过内一点与垂直的直线垂直于平面
(D)若直线与平面内的无数条直线都垂直,则不能说一定有.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 图3是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入,则输出 .
参考答案:
22
略
12. 若关于x的不等式对任意恒成立,则a的取值范围是______.
参考答案:
【分析】
分离参数可得不等式对任意恒成立,设,求出函数在上的最小值后可得结果.
【详解】∵关于不等式对任意恒成立,
∴对任意恒成立.
设,则,
∴当时,单调递减;当时,单调递增.
∴,
∴.
∴实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时,常用的方法是分离参数法,即通过参数的分离,把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式,然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求.解题中常用到以下结论:恒成立或恒成立,当函数的最值不存在时,可利用函数值域的端点值来代替.
13. 已知命题函数的定义域为R;命题,不等式恒成立,如果命题““为真命题,且“”为假命题,则实数的取值范围是
参考答案:
【知识点】命题及其关系 A2
解析:若命题为真,则或.若命题为真,因为,所以.因为对于,不等式恒成立,只需满足,解得或.命题“”为真命题,且“”为假命题,则一真一假.
①当真假时,可得;
②当时,可得.
综合①②可得的取值范围是.
【思路点拨】根据题意对命题进行讨论,再求出a的取值范围.
14. 已知函数(其中e为自然对数的底数)为偶函数,则实数a的值为____.
参考答案:
1
【分析】
利用恒成立可得实数的值.
【详解】因为为偶函数,所以恒成立即
,整理得到恒成立,
故,填.
【点睛】含参数的偶函数(或奇函数),可通过取自变量的特殊值来求参数的大小,注意最后检验必不可少,也可以利用(或)恒成立来求参数的大小.
15. 已知函数.
①f(x)的最大值为________ ;
②设当时,f(x)取得最大值,则______.
参考答案:
【分析】
由辅助角公式以及正弦函数的性质得到的最大值;根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.
【详解】①, (其中 ,)
当,即时,取最大值
②由题意可知
故答案为:;
【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等,属于中档题.
16. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为________.
参考答案:
17. 已知满足,则的最大值为
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数,且对任意n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列,
a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列.
(1)若a2=1,a5=3,求a1的值;
(2)设a1<a2,求证:对任意n∈N*,且n≥2,都有.
参考答案:
(1)解法一:因为a3,a4,a5成等差数列,设公差为d,则a3=3-2d,a4=3-d.
解法二:因为a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5成等差数列,
则,……………3分
则,解得或(舍),所以。………5分
解法三:因为a1,a2,a3成等差数列,则,
因为a2,a3,a4成等比数列,则………………3分
因为a3,a4,a5成等差数列,则,则
解得:或;当时,(与矛盾,故舍去),所以.
………5分(注:没有舍去一解,扣1分)
(2)证法一:因为a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列,
19. (本小题满分14分)函数,过曲线上的点的切线方程为.
(1)若在时有极值,求的表达式;
(2)在(1)的条件下,求在[-3,1]上的最大值;
(3)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围.
参考答案:
(1)由得,
过上点的切线方程为,
即.
而过上点的切线方程为,
故 ………3分
∵在处有极值,故
联立解得. ………5分
(2) ,令得
………7分
列下表:
因此,的极大值为,极小值为,
又在上的最大值为13.……10分
(3)在上单调递增,又,
由(1)知,依题意在上恒有,即即在上恒成立.当时恒成立;当时,,此时……12分
而当且仅当时成立
要使恒成立,只须.……14分
20. 设数列的各项均为正数,前项和为,已知
(1)证明数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)是否存在,使得,若存在,求出的值;若不存在请说明理由;
(3)证明:对任意,都有.
参考答案:
理) (1)∵,∴当时,.
两式相减得,
∴ …………………………2分
∵,∴,
又,∴
∴是以为首项,为公差的等差数列. ………………………1分
∴ ………………………………………1分
(2)由(1)知,
∴ …………………………2分
于是
, …………………………2分
∴ …………………………2分
(3)结论成立,证明如下: …………………………1分[来
设等差数列的首项为,公差为,则
于是
………………………2分
将代入得,,
∴ …………………………2分
又
…………………………2分
∴. …………………………1分
(文)(1)∵,∴当时,.
两式相减得,
∴ …………………………2分
∵,∴,又,∴
∴是以为首项,为公差的等差数列.……………………2分
∴ …………………………1分
(2) 由(1)知, …………………………2分
假设正整数满足条件,
则
∴,
解得; …………………………3分
(3) …………………………2分
于是
…………………………2分
…………………………3分
∴ ………………
略
21. 已知函数.
(Ⅰ)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值;
(Ⅱ)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(本小题满分12分)
解:(Ⅰ),所以
由得或………………………………………2分
所以函数在处取得极小值;在处取得极大值………………6分
(Ⅱ) 因为的对称轴为
(1)若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:,所以;………………………8分
(2)若即时,要使函数在上恒为单调递增函数,则有,解得:,所以;…………10分
综上,实数的取值范围为………………………………………12分
略
22. (本小题满分12分)
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生身高全部介于cm和cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[,),第二组[,),,第八组[,],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为人.
(Ⅰ)求第七组的频率;
(Ⅱ)估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上(含cm)的人数;
(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件{},事件{},求.
参考答案:
(Ⅰ)0.06; (Ⅱ)144人; (Ⅲ)
【知识点】频率分布直方图 概率
解析:(Ⅰ)第六组的频率为,所以第七组的频率为