2022年安徽省安庆市五庙乡初级中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是上的奇函数,,则不等式的解集是( )
A. (-2,2) B.(-2,0 )(0,2) C.(-,-2 )(2,+ ) D.(-2,0 ) (2,+ )
参考答案:
C
略
2. 下列函数中是奇函数,并且在定义域上是增函数的一个是( )
A.y=﹣ B.y=ln|x|
C.y=sinx D.y=
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据奇函数和增函数的定义,结合函数的图象判断即可.
【解答】解:对于A,在(﹣∞,0),(0,+∞)上是增函数,但在定义域上不是增函数,故不正确;
对于B,是偶函数,故不正确;
对于C在定义域上有增有减,故不正确;
对于D,函数的图象如图:,可知是奇函数,在定义域上是增函数,
故选D.
3. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于( )
A. B. C. ?1 D. 1
参考答案:
C
解:令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x?c)=2,于是取,c=π,则对任意的x∈R,af(x)+bf(x?c)=1,由此得。
一般地,由题设可得,,其中且,于是af(x)+bf(x?c)=1可化为
,即
,所以
。
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有,
若b=0,则由(1)知a=0,显然不满足(3)式,故b≠0。所以,由(2)知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时,cosc=1,则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=?1。由(1)、(3)知,所以。
4. 函数的最小正周期和最大值分别是( )
A.π和 B.和1 C.π和1 D.2π和
参考答案:
A
最小正周期为π,最大值为,选A.
5. 已知点,则与同方向的单位向量是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、E是AB的三等分点,G、N是CD的三等分点,F、H分别是BC、MN的中点,则四棱锥A1﹣EFGH的左视图是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】L7:简单空间图形的三视图.
【分析】确定5个顶点在面DCC1D1上的投影,即可得出结论.
【解答】解:A1在面DCC1D1上的投影为点D1,E在面DCC1D1的投影为点G,F在面DCC1D1上的投影为点C,H在面DCC1D1上的投影为点N,因此侧视图为选项C的图形.
故选C
7. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
,,所以,
8. ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
试题分析:由余弦定理直接得,且,得,故选C.
考点:余弦定理.
9. 由射线()逆时针旋转到射线()的位置所成角为,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
设()的倾斜角为,则
射线()的倾斜角为,
∴
故选:A
10. 已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( )
A.2 B. C.﹣1 D.﹣2
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出,依次写出每次循环得到的a,i的值,当i=11时,满足条件,计算即可得解.
【解答】解:程序运行过程中,各变量的值如下表示:
a i 是否继续循环
循环前 2 1
第一圈 2 是
第二圈﹣1 3 是
第三圈 2 4 是
…
第9圈 2 10 是
第10圈 11 是
故最后输出的a值为.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线与所围成的图形的面积是 .
参考答案:
略
12. 已知实数满足约束条件,若目标函数仅在点取得最小值,则的取值范围是_________.
参考答案:
13. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在表面积为16π的同一球面上,则PA= .
参考答案:
【考点】球的体积和表面积.
【分析】连结AC、BD,交于点E,则E是AC中点,取PC中点O,连结OE,推导出O是该四棱锥的外接的球心,可得球半径,由四棱锥的所有顶点都在表面积为16π,建立方程求出PA即可.
【解答】解:连结AC,BD交于点E,取PC的中点O,连结OE,则OE∥PA,所以OE⊥底面ABCD,则O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O球心,均为=,
所以由球的表面积可得4π()2=16π,解得PA=,
故答案为:.
【点评】本题考查四面体的外接球的表面积,考查勾股定理的运用,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
14. 在△ABC中,BC=2,AC=,AB=+1.设△ABC的外心为O,若=m+n,则m+n= .
参考答案:
﹣1
【考点】向量在几何中的应用.
【专题】探究型;转化思想;转化法;平面向量及应用.
【分析】设AB,AC中点分别为M,N,利用向量的三角形法则和三角形的外心的性质即可得出答案.
【解答】解:设AB,AC中点分别为M,N,
则=﹣=﹣(﹣n)=()﹣,
=﹣=﹣(﹣n)=+(),
由外心O的定义知,⊥,⊥,
因此,?=0,?=0,
∴[()﹣]?=0,[+()]?=0,
即()2﹣?=0…①,?+()2=0…②,
∵=﹣,
∴2=2﹣2?+2,
∴?=(2+2﹣2)=1+…③,
将③代入①②得:,
解得:
∴m+n=﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题以向量在平面几何中的应用为载体,考查了向量的三角形法则和三角形的外心的性质,属于难题.
15. 已知抛物线的准线与圆相切,则的值为 .
参考答案:
2
16. 在三棱锥P-ABC中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为
参考答案:
5π
17. 等边△ABC的边长为2,取各边的三等分点并连线,可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形,记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3,…,G9,则|()+()+…+()|= 。
参考答案:
【知识点】向量的加法及其几何意义 A1
因为△ABC为等边三角形,边长为2
∴,且,=
故答案为.
【思路点拨】将所有的向量用,表示出来,再利用等边三角形的三线合一性质即可求解
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题13分)已知二次函数函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.
(1)求证:-2<<-1.
(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
参考答案:
(1)由条件知a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,
即……………………6分
(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则x1+x2=-,x1x2=-,
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2…………………………10分
∵-2< <-1,∴≤(x1-x2)2<,
即|x1-x2|的取值范围是……………………13分
19. 函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)设曲线C1,C2分别对应函数y=f(x)和y=g(x),请指出图中曲线C1,C2对应的函数解析式.若不等式kf[g(x)]﹣g(x)<0对任意x∈(0,1)恒成立,求k的取值范围;
(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},求a,b的值.
参考答案:
【考点】根据实际问题选择函数类型;函数恒成立问题.
【分析】(1)由题意,C1对应的函数为f(x)=x3,C2对应的函数为g(x)=2x ,不等式kf[g(x)]﹣g(x)<0,等价于k?23x<2x,利用分离参数法,可求k的取值范围;
(2)令φ(x)=g(x)﹣f(x)=2x﹣x3,则x1,x2为函数φ(x)的零点,根据零点存在定理,可得两个零点x1∈(1,2),x2∈(9,10),由此可得a,b的值.
【解答】解:(1)由题意,C1对应的函数为f(x)=x3,C2对应的函数为g(x)=2x
不等式kf[g(x)]﹣g(x)<0,等价于k?23x<2x,则k<4﹣x对任意x∈(0,1)恒成立
∵,∴
(2)令φ(x)=g(x)﹣f(x)=2x﹣x3,则x1,x2为函数φ(x)的零点,
由于φ(1)=1>0,φ(2)=﹣4<0,φ(9)=29﹣93<0,φ(10)=210﹣103>0,
则方程φ(x)=f(x)﹣g(x)的两个零点x1∈(1,2),x2∈(9,10),
因此整数a=1,b=9.
20. (本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的
统计结果如下:
日销售量(吨)
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
(1)求表中的的值;
(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求:
① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率;
② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求的分布列和期望.
参考答案:
(1);
(2)①,②分布列见解析,.
试题分析:第一问根据频率等于频数除以样本容量,得出,第二问根据题意可知为二项分布,利用二项分布的公式,求得,将的取值找到,求得对应的概率,做出相应的分布列,利用期望公式求得结果.
试题解析:(1)由题意知: -------------2分
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率, ----------3分
设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨,
则, ---------4分
②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以的可能取值为,-----5分
则:
,
, -------------------------10分
的分布列为:
4
5
6
7
8
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
-------------11分
∴ ----