山东省临沂市第十三中学2022年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 以下有关线性回归分析的说法不正确的是( )
A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心
B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使最小的a,b的值
C.相关系数r越小,表明两个变量相关性越弱
D.越接近1,表明回归的效果越好ks5u
参考答案:
C
略
2. 函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对定义域内的任意x,均有f(f(x)﹣lnx﹣x3)=2,则f(e)=( )
A.e3+1 B.e3+2 C.e3+e+1 D.e3+e+2
参考答案:
B
【考点】函数单调性的性质.
【分析】由题意得f(x)﹣lnx﹣x3是定值,令f(x)﹣lnx﹣x3=t,得到lnt+t3+t=2,求出t的值,从而求出f(x)的表达式,求出f(e)即可.
【解答】解:∵函数f(x)对定义域内的任意x,均有f(f(x)﹣lnx﹣x3)=2,
则f(x)﹣lnx﹣x3是定值,
不妨令f(x)﹣lnx﹣x3=t,
则f(t)=lnt+t3+t=2,解得:t=1,
∴f(x)=lnx+x3+1,
∴f(e)=lne+e3+1=e3+2,
故选:B
3. 过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F作斜率为﹣1的直线l,l与离心率为e的双曲线(b>0)的两条渐近线的交点分别为B,C.若xB,xC,xF分别表示B,C,F的横坐标,且,则e=( )
A.6 B. C.3 D.
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F(a,0),所以直线y=﹣x+a与y=±交于B、C两点,求出B、C的横坐标,再根据 且,建立关于a、b的等式解出b2=2a2,可得此双曲线的离心率.
【解答】解:过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F作斜率为﹣1的直线l,直线方程为y=﹣x+a,
∵双曲线的渐近线为y=±x,
∴直线y=﹣x+a与渐近线的交点横坐标分别为xB=,xB=,xF=a,
∵,
∴a2=﹣,
解得2a2=b2,
∴e===,
故选:D
【点评】本题给出双曲线满足的条件,求双曲线的离心率.着重考查了直线的交点坐标、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
4. 已知实数a、b满足(a+i)(1﹣i)=3+bi,则复数a+bi的模为( )
A. B.2 C. D.5
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】计算题;转化思想;数学模型法;数系的扩充和复数.
【分析】由(a+i)(1﹣i)=3+bi,得a+1+(1﹣a)i=3+bi,根据复数相等的条件列出方程组,求解即可得a,b的值,再由复数模的公式计算则答案可求.
【解答】解:由(a+i)(1﹣i)=3+bi,
得a+1+(1﹣a)i=3+bi,
根据复数相等的条件则,
解得:a=2,b=﹣1.
则复数a+bi的模为:.
故选:C.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.
5. 下列命题正确的个数是( )
①命题“?x0∈R,x02+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;
②“函数f(x)=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立?(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“?<0”.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】(1)根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确;
(2)化简三角函数,利用三角函数的最小正周期判断;
(3)用特例法验证(3)是否正确;
(4)根据向量夹角为π时,向量的数量积小于0,来判断(4)是否正确.
【解答】解:(1)根据特称命题的否定是全称命题,
∴(1)正确;
(2)f(x)=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax,最小正周期是=π?a=±1,
∴(2)正确;
(3)例a=2时,x2+2x≥2x在x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<2xmax=4,
∴(3)不正确;
(4)∵,当θ=π时, ?<0.
∴(4)错误.
∴正确的命题是(1)(2).
故选:B
6. 已知方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)的回归方程,则是“(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
7. 设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( )
A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
参考答案:
C
【考点】补集及其运算.
【分析】直接利用补集的定义求出CUM.
【解答】解:∵集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM={3,5,6},
故选C.
8. 在△ABC中,若,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【分析】由,得sin=sin,?,
【解答】解:∵=cos=sin,?,则△ABC是等腰三角形,
故选:A.
9. 已知,则( )
A.7 B.-7 C. D.
参考答案:
D
10.
已知等差数列、的公差分别为2、3,且,则数列是
(A)等差数列且公差为6 (B)等差数列且公差为5
(C)等比数列且公比为8 (D)等比数列且公比为9
参考答案:
答案:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是
参考答案:
5
12.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,与对角线BD1异面的棱有 条。
参考答案:
答案:6
13. 若实数满足,则的最大值为___________。
参考答案:
14. 设m>1,当实数x,y满足不等式组,目标函数z=x+my的最大值等于3,则m的值是 .
参考答案:
4
【考点】简单线性规划.
【分析】画出满足约束条件的可行域,求出目标函数的最大值,从而建立关于m的等式,即可得出答案.
【解答】解:由z=x+my得y=﹣x+,
∵m>1,∴目标函数的斜率k=﹣∈(﹣1,0),
作出不等式组对应的平面区域如图:
由平移可知当直线y=﹣x+,
经过点A时,目标函数取得最大值,此时z=x+my=3,
由,解得,即A(,),
同时,A也在直线x+my=3上,
代入得+m=3,解得m=4,
故答案为:4.
15. 函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
参考答案:
略
16. 已知三棱锥的各顶点均在一个半径为的球面上,球心在上,平面,,则三棱锥与球的体积之比是
参考答案:
17. 已知向量、满足||=5,||=3,?=﹣3,则在的方向上的投影是 .
参考答案:
﹣1
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】则在的方向上的投影是,代入数值计算即可.
【解答】解:由向量、满足||=5,||=3, ?=﹣3
则在的方向上的投影是==﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题考查向量投影的求法,属基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2016?兴安盟一模)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为:ρsin2θ=cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线L的参数方程为(t为参数),直线L与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
参考答案:
【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)利用公式化简ρ2sin2θ=ρcosθ,得到曲线C的直角坐标方程;
(2)把直线的参数方程代入曲线C的普通方程中,得到方程t2+t﹣4=0;
由根与系数的关系得t1+t2,t1t2,求出|AB|=|t1﹣t2|.
【解答】解:(1)把代入ρ2sin2θ=ρcosθ中,
化简,得y2=x,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=x;
(2)把代入曲线C的普通方程y2=x中,
整理得,t2+t﹣4=0,且△>0总成立;
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
∵t1+t2=﹣,t1t2=﹣4,
∴|AB|=|t1﹣t2|==3.
【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,解题时应把参数方程与极坐标化为普通方程,再进行解答,是基础题.
19. 如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.
参考答案:
(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)8.
【分析】
(Ⅰ) 取的中点为,根据等腰三角形性质得 ,再根据平行四边形性质得,即得 ,最后根据面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理得结果,(Ⅱ)先根据(Ⅰ)得平面,再根据三棱锥体积公式得结果.
【详解】
(I)取的中点为,连结.
由是三棱台得,平面平面,从而.
, ,
四边形为平行四边形, .
,为的中点,
, .
平面平面,且交线为,平面,
平面,而平面,
.
(Ⅱ)连结.
由是正三角形,且为中点得, .
由(Ⅰ)知,平面,
.
【点睛】本题考查三棱锥体积、面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.
20. 已知直线 (t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点M作与l夹角为60°的直线,交l于点N,求MN的最小值.
参考答案:
(1)曲线的C参数方程为(为参数)直线的普通方程为
(2)
【分析】
(1)根据题意,代入,可得,即,其参数方程为,(为参数),直线的普通方程为
(2)设,求出到直线的距离,利用三角函数的性质求出最小值.
【详解】解:(1)代入,可得,即+=1,
其参数方程为 (为参数),
直线的普通方程为.
(2)设,
则到的距离
当时,取最小值为,故的最小值为.
【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,极坐标化直角坐标方程,简单曲线的极坐标方程,属中档题.
21. 已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间;
(2)将图象上所有的点向右平行移动个单位长度,得到的图象.若在内是单调函数,求实数m的最大值.
参考答案:
(1)最小正周期为π,减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.(2).
【分析】
(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和单调性求得f(x)的最小正周期和单调递减区间.
(2)利用函数y=Asin(ωx+)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得m的最大值.
【详解】(1)依题意,得函数f(x)=4cosxsin(x)﹣1=4cosx?(sinxcosx)﹣1sin2x+2cos2x