山东省济宁市宗圣中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若如图框图所给的程序运行结果为S=41,则图中的判断框(1)中应填入的是( )
A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5?
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,当k=5时,不满足判断框的条件,退出循环,从而到结论.
【解答】解:模拟执行程序,可得
i=10,S=1
满足条件,执行循环体,第1次循环,S=11,K=9,
满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,K=8,
满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,K=7,
满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,K=6,
满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,K=5,
此时S不满足输出结果,退出循环,
所以判断框中的条件为k>5.
故选:C.
【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,同时考查了推理能力,属于基础题.
2. 将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:计算题.
分析:法一:以平移公式切入,利用向量解答即可;法二:利用平移的意义直接推出结果.
解答: 解:法一由向量平移的定义,在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′(x′,y′),P(x,y),则=,代入到已知解析式中可得选A
法二由平移的意义可知,先向左平移个单位,再向下平移2个单位.
故选A.
点评:本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识,
易错点:将向量与对应点的顺序搞反了,或死记硬背以为是先向右平移个单位,再向下平移2个单位,误选C.为简单题.
3. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),B(1,2),动点P满足 ,其中λ,μ∈[0,1], λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图形面积为
(A)1 (B)2 (C) (D)2
参考答案:
C
本题考查向量坐标运算,线性规划.
设,则
所有点P构成图形如图所示(阴影部分)
故选C
4. 设k∈R,则函数f(x)=sin(kx+)+k的部分图象不可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
【分析】对k取值,结合函数的图象,即可得出结论.
【解答】解:k=0,y=,故A正确;
k=2,f(x)=sin(2x+)+2,图象为B,B正确;
k=﹣1,f(x)=sin(﹣x+)﹣1,图象为C,C正确;
k=1,f(x)=sin(x+)+1,x∈(0,),函数单调递增,D不正确.
故选D.
5. 在△中,若,则△是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
参考答案:
D
由,得,得
,得,得,故.故△是直角三角形.
6. 椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为P,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于
A. B. C.2 D.2
参考答案:
B
8. 在中,点在上,且,点是的中点,若,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 若,,且,,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. 设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R,则集合P?UM= ( )
A.{1,2} B.{3,4} C.{1} D.{-2,-1,0,1,2}
参考答案:
A
因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R,则?UM={1,2},集合P?UM={1,2},故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若不等式的解集为,则实数的取值范围是____.
参考答案:
12. 已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面,可以证明S圆=S环总成立.则短轴长为4cm,长轴为6cm的椭球体的体积为 cm3.
参考答案:
16π
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等原理,得出椭球的体积V=2(V圆柱﹣V圆锥)=2()=16π.
【解答】解:椭圆的长半轴为3,短半轴为2,
现构造一个底面半径为2,根据两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,
则这两个几何体的体积相等原理,
得出椭球的体积V=2(V圆柱﹣V圆锥)=2()=16π
故答案为:16π.
13. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1,上下底面中心的连线平面ACD1所成角即为线面角,直角三角形中求出此角的余弦值.
【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为O1,O;
O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角,
;
故答案为:
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
14. 由曲线与直线所围成的图形的面积是 .
参考答案:
15. 若不等式对任意非零实数恒成立,则
实数的最小值为 ▲ .
参考答案:
1
因为是非零实数,故原不等式可化为恒成立.又,所以的最小值为1.
16. 曲线交于点P,若设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为____.
参考答案:
-1
略
17. 某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成 米.
参考答案:
试题分析:设矩形的长为米,半圆的直径为,中间矩形的面积为,依题意可得, ,当且仅当时,学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成米.
考点:1.函数的应用;2.二次函数的图象和性质;3.基本不等式.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,曲线M的参数方程为(为参数),直线的普通方程为.
(1)求曲线M的普通方程;
(2)在曲线M上求一点P,使得点P到直线的距离最小.
参考答案:
(1)曲线的参数方程(为参数)
即(为参数),
所以,所以,
即,考虑到,故,
所以曲线的普通方程为,.
(2)不妨设曲线上一点,其中,
则点到直线的距离,
考虑到,所以当时,.
故点.
19. 平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
参考答案:
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式.
【专题】计算题.
【分析】(1)将直线化成普通方程,可得它是经过原点且倾斜角为的直线,由此不难得到直线l的极坐标方程;
(2)将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程,可得关于ρ的一元二次方程,然后可以用根与系数的关系结合配方法,可以得到AB的长度.
【解答】解:(1)直线l的参数方程是(t为参数),化为普通方程得:y=x
∴在平面直角坐标系中,直线l经过坐标原点,倾斜角是,
因此,直线l的极坐标方程是θ=,(ρ∈R); …
(2)把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0,得ρ2﹣ρ﹣3=0
∴由一元二次方程根与系数的关系,得ρ1+ρ2=,ρ1ρ2=﹣3,
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==. …
【点评】本题以参数方程和极坐标方程为例,考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点,属于基础题.
20. 已知函数,不等式的解集为M.
(1)求M;
(2)记集合M的最大元素为m,若a、b、c都是正实数,且.求证:.
参考答案:
(1);(2)证明见解析.
【分析】
(1)分、、三种情况,去绝对值解不等式,可得出集合;
(2)由(1)知,,则,然后将代数式与相乘,利用柯西不等式可证明出.
【详解】(1).
当时,,解得,此时;
当时,,解得,此时;
当时,,解得,此时.
故不等式的解集为,因此,集合;
(2)由(1)可知,,
由柯西不等式得,
即,当且仅当时,即当,,时取等号.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,同时也考查了利用柯西不等式证明三元不等式,解题的关键在于对代数式进行合理配凑,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
21. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ=,θ∈[0,2π),直线l为参数,t∈R)
(1)求曲线C和直线l的普通方程;
(2)设直线l和曲线C交于A、B两点,求|AB|的值.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C:ρ=,θ∈[0,2π),化为2ρ﹣ρcosθ=3,可得4ρ2=(3+ρcosθ)2,利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,可得直角坐标方程.可由直线l为参数,t∈R),消去参数t可得普通方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程可得:19x2﹣70x+55=0,利用根与系数的关系可得: =﹣4x1x2.可得|AB|=×|x1﹣x2|.
【解答】解:(1)曲线C:ρ=,θ∈[0,2π),化为2ρ﹣ρcosθ=3,
∴4ρ2=(3+ρcosθ)2,可得直角坐标方程:4(x2+y2)=(3+x)2,化为: +=1.
由直线l为参数,t∈R),可得y=2+2(x﹣3),化为:2x﹣y﹣4=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
把y=2x﹣4代入曲线C的直角坐标方程可得:19x2﹣70x+55=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴=﹣4x1x2=﹣4×=.
∴|AB|=×|x1﹣x2|=×=.
22. 已知圆锥曲线和定点,是此圆锥曲线的左右两个焦点
⑴求直线的极坐标方程
⑵过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点,求的值
参考答案:
略