河南省洛阳市孟津县第一中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,则 ()
A.R B.[-3,6] C.[-2,4] D. (-3,6]
参考答案:
B
2. 已知函数,若且,则的值是().
A. B. C. D.
参考答案:
C
,
,
,
,
∴,
∴,
若即,
,当时,
,
故选.
3. 已知函数,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 给出下列命题:
(1)若,则;
(2)向量不可以比较大小;
(3)若,则;
(4)
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】平行向量与共线向量.
【分析】根据向量不能比较大小,故可判断(1),(2),根据共线和向量的模即可判断(3),(4).
【解答】解:(1)若,则,故错误
(2)向量不可以比较大小,故正确,
(3)若,则; 故正确,
(4),故错误,
其中真命题的个数为2个,
故选:B.
5. 已知函数的最小正周期为,将的图像向左平移个单位长度,所得图像关于y轴对称,则的一个值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 函数的部分图象如下图所示,则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
略
7. 要得到函数的图象,可以将函数的图象
A. 沿轴向左平移个单位 B. 沿向右平移个单位
C. 沿轴向左平移个单位 D. 沿向右平移个单位
参考答案:
D
8. 某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是,则此人将( )
A.不能作出满足要求的三角形; B.作出一个锐角三角形;
C.作出一个直角三角形; D.作出一个钝角三角形。
参考答案:
D
略
9. 下列各项中,不可以组成集合的是( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
参考答案:
C
试题分析:集合中的元素满足三要素:确定性、互异性、无序性;“接近于0的数”是不确定的元素
故接近于0的数不能组成集合,故选C.
10. 已知a,b∈R,且ab0,则在①≥ab;②≥2;③ab≤;④≤这四个不等式中,恒成立的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A﹣B)=,则△ABC的面积为 .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数.
【分析】由题意得到∠BAC大于∠B,如图所示,作AD,使∠BAD=∠B,得到∠DAC=∠BAC﹣∠B,设AD=BD=x,则DC=4﹣x,在△ADC中,由余弦定理列出关于x的方程,求出方程的解,得到x的值,确定出AD与DC的长,在三角形ADC中,利用余弦定理即可求出cosC的值,可得sinC的值,从而求得△ABC面积是AC?BC?sinC的值.
【解答】解:△ABC中,BC=4,AC=3,cos(A﹣B)=,
∴A>B,(A﹣B)为锐角,
如图,作AD,使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠BAC﹣∠B,
即cos∠DAC=cos(∠BAC﹣∠B)=.
设AD=BD=x,则DC=4﹣x,
在△ADC中,由余弦定理得:CD2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC,
即(4﹣x)2=x2+9﹣2x×3×,
解得:x=2,
∴AD=2,DC=2,
在△ADC中,由余弦定理得cosC===,
∴sinC==,
故△ABC面积是: AC?BC?sinC=×3×4×=,
故答案是:.
12. 如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,在D点测得塔在北偏东30°方向,然后向正西方向前进10米到达C,测得此时塔在北偏东60°方向.并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= 米.
参考答案:
30
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】在△BCD中,由正弦定理,求得BC,在Rt△ABC中,求AB.
【解答】解:由题意,∠BCD=30°,∠BDC=120°,CD=10m,
在△BCD中,由正弦定理得BC=?10=10m.
在Rt△ABC中,AB=BCtan60°=30m.
故答案为:30.
13. 已知不共线向量,,满足,且与的夹角等于,与的夹角等于,||=1,则||等于 .
参考答案:
2
略
14. 设,,,则a,b,c由小到大的顺序是 (用a,b,c表示)。
参考答案:
且 , ,
故答案为
15. 若角满足,则的取值范围是_____________。
参考答案:
略
16. 若,则a+b=
参考答案:
5
17. 从集合中随机选取一个数记为a,从集合中随机选取一个数记为b,则直线不经过第一象限的概率为__________.
参考答案:
【分析】
首先求出试验发生包含的事件的取值所有可能的结果,满足条件事件直线不经过第一象限,符合条件的有种结果,根据古典概型概率公式得到结果.
【详解】试验发生包含的事件,,
得到的取值所有可能的结果有:
共种结果,
由得,
当 时,直线不经过第一象限,符合条件的有种结果,
所以直线不经过第一象限的概率.
故答案为:
【点睛】本题是一道古典概型题目,考查了古典概型概率公式,解题的关键是求出列举基本事件,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分8分)
如图,在直三棱柱中, ,,.
(Ⅰ) 证明:;
(Ⅱ)求二面角的正切值.
参考答案:
解:(Ⅰ) 证明: 三棱柱为直三棱柱,
在中,,
由正弦定理,得,
,,又
∴ , 又,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,∴
如图,作交于点D点,连结BD,
∴ , ∴
为二面角的平面角
∴ 在中,由面积相等得
∴ 在中,为所求.
19. (本小题满分10分)不用计算器求值:
参考答案:
20. 设函数的定义域为R,并且满足,
当
(1).求的值;(3分)
(2).判断函数的奇偶性;(3分)
(3).如果的取值范围.(6分)
参考答案:
设函数的定义域为R,并且满足,当
解:(1).
(2).
(3).共6分
略
21. 在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱维P-ABC中,PA⊥底面ABC.
(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空_________⊥________,则该三棱锥为“鳖臑”;
(2)如图,已知垂足为,垂足为.
(i)证明:平面ADE⊥平面PAC;
(ii)作出平面ADE与平面ABC的交线,并证明是二面角的平面角.(在图中体现作图过程不必写出画法)
参考答案:
(1)或或或(2)(i) 见证明;(ii)见解析
【分析】
(1)根据已知填或或或均可;(2)(i)先证明平面,再证明平面⊥平面;(ii) 在平面中,记,,连结,则为所求的.再证明是二面角的平面角.
【详解】(1)或或或.
(2)(i)在三棱锥中,,,,
所以平面,
又平面,所以,
又,,所以平面.
又平面,所以,
因为且,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(ii)
在平面中,记,连结,则为所求的.
因为平面,平面,所以,
因为平面,平面,所以,
又,所以平面.
又平面且平面,所以,.
所以就是二面角的一个平面角.
【点睛】本题主要考查空间线面位置关系,面面角的作图及证明,属于中档题.
22. 求函数的单调递增区间
参考答案:
略