山东省青岛市即墨安中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.
设正六边形的边长为2,与的交点为G,易知,,所以,所求的概率为.
2. 已知函数, 则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 设是虚数单位,若复数,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
D
解答:
由题意知直线的方程为,设,与抛物线方程联立有,可得或,
∴,∴.
5. 已知若或,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是四边形ABCD的中心,关于直线A1O,下列说法正确的是( )
A. A1O∥DC B. A1O⊥BC
C. A1O∥平面BCD D. A1O⊥平面ABD
参考答案:
C
【分析】
推导出A1D∥B1C,OD∥B1D1,从而平面A1DO∥平面B1CD1,由此能得到A1O∥平面B1CD1.再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.
【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线,故A错误;
假设A1O⊥BC,结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1,则可得BC⊥AC,显然不正确,故假设错误,即B错误;
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O是四边形ABCD的中心,
∴A1D∥B1C,OD∥B1D1,
∵A1D∩DO=D,B1D1∩B1C=B1,
∴平面A1DO∥平面B1CD1,
∵A1O?平面A1DO,∴A1O∥平面B1CD1.故C正确;
又A1A⊥平面ABD,过一点作平面ABD的垂线有且只有一条,则D错误,
故选:C.
【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
7. 命题;命题,则命题是命题成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
8. 已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,,O为坐标原点,若|PF1|=10,则|OQ|=
A.10 B.9 C.1 D.1或9
参考答案:
B
9. 下列判断正确的是( )
A. 若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题
B. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
C. “”是“ ”的充分不必要条件
D. 命题“”的否定是“ ”
参考答案:
D
A项中,因为真假,所以为假命题.故A项错误;B项中,“若,则”的否命题为“若,则”, 故B项错误;C项中,是的必要不充分条件,故C项错误;D选项正确.
10. ,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量满足,则 的值为___ .与的夹角是___ .
参考答案:
,
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=10,S3=12,则数列{an}的首项a1= ,通项an= .
参考答案:
1,3n﹣2.
考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案.
解答: 解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由a4=10,S3=12,得,解得.
∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
故答案为:1,3n﹣2.
点评:本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和,是基础题.
13. 已知,,若,或,则m的取值范围是_________。
参考答案:
略
14. 已知复数z满足,则_______
参考答案:
【分析】
先由复数的除法,化简复数,再由复数模的计算公式,即可得出结果.
【详解】因为,所以,
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查复数的运算,以及求复数的模,熟记除法运算法则以及模的计算公式即可,属于常考题型.
15. 将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为,则方程有实根的概率为 .
参考答案:
16. (几何证明选讲选做题)如图,为圆的两条割线,若,,,,则等于 .
参考答案:
6
17. 若曲线f(x)=3x+ax3在点(1,a+3)处的切线与直线y=6x平行,则a= .
参考答案:
1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数,求出切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得a=1.
【解答】解:f(x)=3x+ax3的导数为f′(x)=3+3ax2,
即有在点(1,a+3)处的切线斜率为k=3+3a,
由切线与直线y=6x平行,可得3+3a=6,
解得a=1.
故答案为:1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,在以AE=2为直径的半圆周上,B、C,D分别为弧AE的四等分点。
(Ⅰ)在弧AE上随机取一点P,求满足在上的投影大于的概率;
(Ⅱ)在以O为起点,再从A,B,C,D,E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两向量数量积为x,则的概率。
参考答案:
则 ……………… 3分
所以使得在上的射影大于的概率 ……………… 5分
(2)以O为起点,从A,B,C,D,E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向
量所有的基本事件有:
………………8分
其中数量积为x=的有
19. 在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)求y关于v的函数关系式;
(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.
参考答案:
【考点】5D:函数模型的选择与应用.
【分析】(1)分别计算潜入水底用时、用氧量;水底作业时用氧量;返回水面用时、用氧量,即可得到总用氧量的函数;
(2)利用基本不等式可得,时取等号,再结合c≤v≤15(c>0),即可求得确定下潜速度v,使总的用氧量最少.
【解答】解:(1)由题意,下潜用时(单位时间),用氧量为(升),
水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时(单位时间),用氧量为(升),
∴总用氧量(v>0).
(2),令y'=0得,在时,y'<0,函数单调递减,在时,y'>0,函数单调递增,
∴当时,函数在上递减,在上递增,
∴此时时用氧量最少.当时,[c,15]上递增,此时v=c时,总用氧量最少.
20. 已知数列中,,前项和.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)(解法一)∵
∴
∴
整理得
∴
两式相减得
即
∴,
即
∴ 数列是等差数列
且,得,则公差
∴
(解法二) ∵
∴
∴
整理得
等式两边同时除以得 ,
即
累加得
得
(2) 由(1)知
∴
∴
则要使得对一切正整数都成立,只要,所以只要
∴ 存在实数,使得对一切正整数都成立,
且的最小值为
略
21. 如图,点C是以A,B为直径的圆O上不与A,B重合的一个动点,S是圆O所在平面外一点,且总有SC⊥平面ABC,M是SB的中点,AB=SC=2.
(1)求证:OM⊥BC;
(2)当四面体S﹣ABC的体积最大时,设直线AM与平面ABC所成的角为α,求tanα.
参考答案:
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角.
专题:计算题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:(1)证明BC⊥平面SAC,BC⊥SA,OM平行于SA,可得OM⊥BC;
(2)求出四面体S﹣ABC的体积最大时,,取BC的中点N,连接MN,AN,则MN与SC平行,MN⊥平面ABC,则α=∠MAN,即可求tanα.
解答: (1)证明:由于C是以AB为直径的圆上一点,故AC⊥BC
又SC⊥平面ABC,SC⊥BC,又SC∩AC=C,
∴BC⊥平面SAC,BC⊥SA,
∵O,M分别为AB,SB的中点,
∴OM平行于SA,
∴OM⊥BC…
(2)解:四面体S﹣ABC的体积,
当且仅当时取得最大值…
取BC的中点N,连接MN,AN,则MN与SC平行,MN⊥平面ABC,则α=∠MAN,
∴…
点评:本题考查线面垂直的判定与性质,考查四面体体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. (12分)已知数列{an}满足a1=2,an+1=+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=an+an+1﹣2,证明++…+<.
参考答案:
考点: 数列与不等式的综合.
专题: 综合题;等差数列与等比数列.
分析: (Ⅰ)证明{(an﹣1)2}是首项为1,公差为1的等差数列,即可求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=an+an+1﹣2=+,可得++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1,即可证明结论.
解答: (Ⅰ)解:∵an+1=+1,
∴(an+1﹣1)2﹣(an﹣1)2=1,
又(a1﹣1)2=1
∴{(an﹣1)2}是首项为1,公差为1的等差数