2022-2023学年江苏省常州市金坛五叶中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知平面平面,=c,直线直线不垂直,且交于同一点,则“”是“”的
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 充要条件
参考答案:
D
略
2. 在极坐标系中,直线被曲线1截得的线段长为
A. B.
C.1 D.
参考答案:
D
3. 将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
D
略
4. 已知等比数列{an}的各项均为正数,,则的最小值为( )
A. B. C. 10 D. 20
参考答案:
D
【分析】
根据基本不等式以及等比数列性质求最值.
【详解】因为,所以的最小值为20,
故选D
【点睛】本题考查基本不等式求最值以及等比数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
5. 在某校连续5次考试成绩中,统计甲,乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81,乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
A
因为乙同学次成绩的中位数为,所以选A.
6. 已知函数f(x)=x2+|ax+1|,命题p:?a∈R,f(x)为偶函数,则¬p为( )
A.?a∈R,f(x)为奇函数 B.?a∈R,f(x)为奇函数
C.?a∈R,f(x)不为偶函数 D.?a∈R,f(x)不为偶函数
参考答案:
D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,
所以,命题p:?a∈R,f(x)为偶函数,则¬p为:?a∈R,f(x)不为偶函数.
故选:D
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.
7. 如图,把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上,顶点A(0,1),一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周,记=x,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数的图象.
【分析】根据动点移动过程的规律,利用单调性进行排除即可得到结论.
【解答】解:当x由0→时,t从﹣∞→0,且单调递增,
由→1时,t从0→+∞,且单调递增,
∴排除A,B,C,
故选:D.
8. 已知函数均为常数,当时取极大值,当时取极小值,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】利用导数研究函数的极值.B12
【答案解析】D 解析:因为,依题意,得
则点所满足的可行域如图所示(阴影部分,且不包括边界),
其中,,.
表示点到点的距离的平方,因为点到直线的距离,观察图形可知,,又,所以,故选
【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负,极小值点左边导数为负右边导数为正得a,b的约束条件,据线性规划求出最值.
9. 已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线的倾斜角为,对于任意t∈[1,2]函数g(x)=x3+x2[f′(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,则实数 m 的取值范围是( )
A.?(﹣∞,﹣5)? B.?(﹣,﹣5)? C.(﹣9,+∞)?? D.(﹣,﹣9)?
参考答案:
D
【考点】直线的方向向量;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,利用切线的斜率求出a,利用函数的单调性,任意t∈[1,2]函数g(x)=x3+x2[f′(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,转化为函数由极值,然后求解函数的值域即可得到结果.
【解答】解:由函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).可得f′(x)=﹣a,
得a=﹣2,对于任意t∈[1,2]函数=x3+x2(﹣+2+)
在区间(t,3)上总不是单调函数,只需2在(2,3)上不是单调函数,
故g'(x)=3x2+(m+4)x﹣2在(2,3)上有零点,即方程在(2,3)上有解,
而在(2,3)上单调递减,故其值域为.
故选:D.
【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及函数的单调性的判断,考查转化思想以及计算能力.
10. 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是C上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】根据A是C上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,建立方程,即可求出p的值.
【解答】解:设A(a,b),则b2=2pa, =1,a+=2a,
解得p=2,
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知{an}是等比数列,且a2+a6=3,a6+a10=12,则a8+a12= .
参考答案:
24
【考点】等比数列的性质.
【分析】由已知求得q2,再由a8+a12=(a6+a10)?q2得答案.
【解答】解:在等比数列{an}中,由a2+a6=3,a6+a10=12,
得,
∴q2=2,
则a8+a12=(a6+a10)?q2=12×2=24.
故答案为:24.
12. 展开式中,形如的项称为同序项,形如的项称为次序项,如q是一个同序项,是一个次序项。从展开式中任取两项,恰有一个同序项和一个次序项的概率为 。
参考答案:
13. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行;…;依此类推,则
(Ⅰ)按网络运作顺序第n行第1个数(如第2行第1个数为2,第3行第1个数为4,)是 ;
(Ⅱ)第63行从左至右的第3个数是 .
参考答案:
【知识点】合情推理;等差数列求和公式.D2 M1
【答案解析】(Ⅰ);(Ⅱ)2014
解析:(1)由题意,前(n-1)行一共已出现了1+2+3+…+(n-1)= 个数字,∴按网络运作顺序第n行第一个数字是+1= ;
(2)第63行的数字从左至右是由大到小出现的,64行的数字从左至右是由小到大出现的,且第一个数字为2017,∴第63行的数字从左至右依次为2016,2015,2014,2013,…,1954,∴第63行从左至右的第3个数应是2014
故答案为:,2014.
【思路点拨】(1)前n行的数字个数之和刚好等于本行的最大数字,并且奇数行,从大到小排列;偶数行,从小到大排列,所以利用等差数列的求和公式,即可求得结论;(2)第63行的数字从左至右是由大到小出现的,64行的数字从左至右是由小到大出现的,且第一个数字为2017,即可得到结论.
14. 已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p>0)上的两点A,B满足=3,若弦AB的中点到准线的距离为,则抛物线的方程为 .
参考答案:
y2=8x
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】设直线l的方程代入抛物线方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得k的值,根据中点坐标公式求得M的横坐标,则M到准线的距离d=x+=,即可求得d的值,求得抛物线方程.
【解答】解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),
由题意可知直线AB的斜率显然存在,且不为0,设直线AB的方程y=k(x﹣),
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),
=(﹣x1,﹣y1),=(x2﹣,y2),由=3,
则﹣x1=3(x2﹣),则3x2+x1=2p,①
,整理得:k2x2﹣(k2+2)px+=0,
由韦达定理可知:x1+x2=,②x1x2=,③
由①②解得:x1=,x2=,
代入③,解得:k2=3,
则x==,M到准线的距离d=x+=,
∴=,解得:p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
故答案为:y2=8x.
15. 若cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=-,β是第二象限的角,则tan 2β=________.
参考答案:
16. 抛物线上的点P到两直线的距离之和的最小值为 .
参考答案:
3
17. 已知是定义在上的偶函数,并满足,当时,,则 .
参考答案:
由得函数的周期为4,所以,所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC=BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.
(1)证明:ED∥面PAB;
(2)若PC=2,PA=,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:取PB的中点F,连接AF,EF.
∵EF是△PBC的中位线,∴EF∥BC,且EF=.
又AD=BC,且AD=,∴AD∥EF且AD=EF,
则四边形ADEF是平行四边形.
∴DE∥AF,又DE?面ABP,AF?面ABP,∴ED∥面PAB;……………6分
(Ⅱ)解:法一、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC且AD=MC,
∴四边形ADCM是平行四边形,
∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上.∴AB⊥AC,可得.
过D作DG⊥AC于G,
∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,
∴DG⊥平面PAC,则DG⊥PC.
过G作GH⊥PC于H,则PC⊥面GHD,连接DH,则PC⊥DH,
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.
在△ADC中,,连接AE,.
在Rt△GDH中,,
∴,
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值.……………….12分
法二、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC,且AD=MC.
∴四边形ADCM是平行四边形,
∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上,
∴AB⊥AC.
∵面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴AB⊥面PAC.
如图以A为原点,方向分别为x轴正方向,y轴正方向建立空间直角坐标系.
可得,.
设P(x,0,z),(z>0),依题意有,,
解得.
则,,.
设面PDC的一个法向量为,
由,取x0=1,得.
为面PAC的一个法向量,且,
设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ,
则有,即二面角A﹣PC﹣D的余弦值.……12分
19. (12分)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(Ⅰ) 求图中x的值;
(Ⅱ) 已知满意度评分值在[90,100]内的男生数与女生数的比为2:1,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取4人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
参考答案:
【考点】