浙江省金华市白马中学2022年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为,,,为其左右顶点,以线段,为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 四面体的四个顶点都在球的表面上,平面,△是边长为3的等边三角形.若,则球的表面积为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C【知识点】多面体与球G8
取CD的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,
△BCD是边长为3的等边三角形.
∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,
△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,
BE= ,BG=,R==2四面体ABCD外接球的表面积为:4πR2=16π.
【思路点拨】取CD的中点E,连结AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积.
4. 在长为3m的线段上任取一点,点与线段两端点、的距离都大于1m的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若,,则( )
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
参考答案:
A
【分析】
先由,求出,再由,即可求出结果.
【详解】因为等差数列{}的前n项和为,且,
所以,解得;
又,所以.
故选A
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算,熟记等差数列的求和公式与通项公式,以及等差数列的性质即可,属于基础题型.
6. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知椭圆的两个焦点为F1(﹣,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1||MF2|=8,则该椭圆的方程是( )
A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
参考答案:
C
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】设|MF1|=m,|MF2|=n,根据MF1⊥MF2,|MF1||MF2|=8,|F1F2|=2,利用勾股定理,椭圆的定义,求出a,可得b,即可求出椭圆的方程.
【解答】解:设|MF1|=m,|MF2|=n,
∵MF1⊥MF2,|MF1||MF2|=8,|F1F2|=2,
∴m2+n2=20,mn=8,
∴(m+n)2=36,
∴m+n=2a=6,
∴a=3,
∵c=,
∴b=2,
∴椭圆的方程是+=1.
故选:C.
8. 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
略
9. 点P的直角坐标为(),则点的极坐标为( ).
A. () B. () C. () D. ()
参考答案:
A
略
10. 已知点F是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是( )
A.3 B.2 C.12 D.13
参考答案:
B
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:利用双曲线的对称性及直角三角形,可得∠AEF=45°,从而|AF|=|EF|,求出|AF|,|EF|得到关于a,b,c的等式,即可求出离心率的值.
解答: 解:∵△ABE是直角三角形,∴∠AEB为直角,
∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴,
∴∠AEF=∠BEF=45°,
∴|AF|=|EF|,
∵F为左焦点,设其坐标为(﹣c,0),
令x=﹣c,则﹣=1,
则有y=±,
∴|AF|=,∴|EF|=a+c,
∴=a+c
∴c2﹣ac﹣2a2=0
∴e2﹣e﹣2=0
∵e>1,∴e=2
故选B.
点评:本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系:c2=a2+b2、考查双曲线的离心率,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D四个不同的信封里,每个信封至少有一封信,其中a没有放入A中的概率是 .
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】概率与统计.
【分析】由排列组合的知识可得总的投放方法有=24种,其中a放入A中的有=6种方法,由概率公式可得.
【解答】解:由题意可得总的投放方法有=24种,
其中a放入A中的有=6种方法,
∴所求概率P=1﹣=,
故答案为:.
【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及排列组合的应用,属基础题.
12. 设,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,的取值的集合为 。
参考答案:
13. 已知随机变量,若,则等于
参考答案:
0.3
14. 已知F为抛物线C:的焦点,直线与曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,则________.
参考答案:
【分析】
联立直线与抛物线,根据弦长公式以及点到直线的距离可得三角形的面积.
【详解】联立得,设,则,
则||AB|=,
点O到直线的距离.
故答案为:
【点睛】本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,点到直线的距离公式及三角形的面积公式,属于中档题.
15. 已知等差数列的前10项之和为30,前20项之和为100,则= .
参考答案:
14
16. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于 .
参考答案:
17. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1、1、2,则此球的表面积为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输,至此柯洁与的三场比赛全部结束,柯洁三战全负,这次人机大战再次引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查,根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(1)请根据已知条件完成下面列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷
围棋迷
合计
男
女
10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,数学期望和方差.
独立性检查临界值表:
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
…
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
…
(参考公式:,其中)
参考答案:
由频率分布直方图可知,
所以在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,
从而列联表如下
非围棋迷
围棋迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
因为,所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从该地区抽取1名“围棋迷”的概率为.
由题意知,,从而的分布列为
0
1
2
3
故,.
19. (本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)当函数的定义域为时,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)函数的定义域满足:|x1|+|x5|a>0,
即|x1|+|x5|>a=2.
设g(x)=|x1|+|x5|,
则g(x)=|x1|+|x5|=
g(x)min=4 > a =2,f (x)min=log2(42)=1.…………………………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)=|x1|+|x5|的最小值为4,
|x1|+|x5|a>0,
∴a<4,∴a的取值范围是(∞,4).……………………………(10分)
20. 飞机每飞行1小时的费用由两部分组成,固定部分为4900元,变动部分(元)与飞机飞行速度(千米∕小时)的函数关系式是,已知甲乙两地的距离为(千米).
(1)试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用(元)关于速度(千米∕小时)的函数关系式;
(2)当飞机飞行速度为多少时,所需费用最少?
参考答案:
19.解:(1)每小时的费用为 , 飞行时间为小时
所以总费用关于速度的函数关系为
(2)
当且仅当即时上式等号成立. 所以当飞机的飞行速度为700千米/小时时费用最小.
21. 已知函数其中(且
),设
(1)求函数的定义域,判断的奇偶性,并说明理由;
(2)若,求使成立的的集合;
(3)若时,函数的值域是,求实数的取值范围.
参考答案:
在上单调递减,
由时,函数的值域是,
可得与矛盾,所以F
综上: …………………………12分
【说明】也可以由,由时,函数的值域是,
得到,判断出在上单调递增
.
22. (12分)
如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
参考答案:
解:(1)由已知得,平面,平面,
故.
又,所以平面.
(2)由(1)知.由题设知,所以,
故,.
以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则C(0,1,0),B(1,1,0),(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),,.
设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则
即
所以可取n=.
设平面的法向量为m=(x,y,z),则
即
所以可取m=(1,1,0).
于是.
所以,二面角的正弦值为.