广东省深圳市建文中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点P(2,1)为圆C:x2+y2-8x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为
A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.2x-y-3=0 D.x-2y=0
参考答案:
C
2. 某程序的框图如图所示,则运行该程序后输出的的值是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
3. 在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则此三角形解的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定
参考答案:
C
【考点】正弦定理.
【专题】数形结合;综合法;解三角形.
【分析】计算bsinA的值,比较其和a、b的大小关系可得.
【解答】解:∵在△ABC中A=30°,a=2,b=2,
∴bsinA=2×=,
而<a=2<b=2,
∴三角形解的个数为2,
故选:C.
【点评】本题考查三角形解得个数的判断,属基础题.
4. 以直线为渐近线,F(0,2)为一个焦点的双曲线方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 已知双曲线的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点,则双
曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 设是虚数单位,则复数( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
.
故选.
7. 在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=BA=BC,则直线PB与平面PAC所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
B
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】由题意画出图形,取AC中点O,连接PO,BO,可得BO⊥AC,再由面面垂直的性质可得BO⊥平面PAC,知∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角,求解直角三角形得答案.
【解答】解:如图,
设PA=PC=BA=BC=a,取AC中点O,连接PO,BO,
则BO⊥AC,
∵平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,
∴BO⊥平面PAC,则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角,
∵PA=PC=BA=BC,AC=AC,
∴△PAC≌△BAC,则PO=OB,
∴∠BPO=45°,
故选:B.
【点评】本题考查直线与平面所称的角,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.
8. 复数z满足为虚数单位),则复数z=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
对复数进行化简,在由共轭复数的性质即可求出。
【详解】复数可变形为
则复数。
故选A.
【点睛】在对复数的除法进行化简时,要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”。
9. 正方体ABCD – A1B1C1D1中,E、F、G分别为棱AB、AD、AA1的中点,顶点A到△A1EF和△BDG所在平面的距离分别是p和q,则( )
(A)p > q (B)p = q (C)p < q (D)p,q的大小关系不确定(即与棱长有关)
参考答案:
C
10. 程序:M=1 M=M+1 M=M+2 PRINT M END M的最后输出值为( )
A. 1 B.2 C. 3 D.4
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则等于10 .
参考答案:
10
12. 函数在处的切线方程为______
参考答案:
(或)
【分析】
求出函数的导数,计算,的值,从而求出切线方程即可
【详解】解:定义域为,,又,
函数在点,(e)处的切线方程为:,即,
.
故答案为:(或)
【点睛】本题考查了切线方程问题,属于基础题.
13. 已知集合,集合,则 ▲ .
参考答案:
略
14. 如图所示,图中曲线方程为y=x2﹣1,则围成封闭图形(阴影部分)的面积是 .
参考答案:
2
【考点】定积分;定积分的简单应用.
【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积,然后计算定积分.
【解答】解:曲线方程为y=x2﹣1,则围成封闭图形(阴影部分)的面积是
=(x﹣)|+()|=2;
故答案为:2.
15. 在数列中,其前其前项和为,且满足,则__________.
参考答案:
点晴:本题考查的是已知数列前项和为求通项的问题.解决这类问题的步骤有三个:一是求时;二是求;
三是检验时是否符合时得到的通项公式 ,如果不符合一定要写成分段的形式,符合则一定要统一. 111]
16. 中若 ,则为 三角形
参考答案:
等腰三角形或直角三角形
略
17. 若菱形的边长为,则__________。
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(2)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
组别
候车时间
人数
一
2
二
6
三
4
四
2
五
1
参考答案:
解:(1)由频率分布表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8,
所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.……4分
(2)设第三组的乘客为,第四组的乘客为1,2;
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分
所得基本事件共有15种,即:
……………………………8分
其中事件包含基本事件,共8种,………………10分
由古典概型可得, ……………………………………………………12分
略
19. 设椭圆的离心率是,过点的动直线L于椭圆相交于A,B两点,当直线L平行于x轴时,直线L被椭圆C截得弦长为。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求Q的坐标;若不存在,说明理由。
参考答案:
(Ⅰ)由已知可得,椭圆经过点,
因此,,解得,
所以椭圆方程为;…………………………4分
(Ⅱ)当直线平行于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,则有,即,
所以点在轴上,可设点的坐标为;…………………………5分
当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点,
则的坐标分别为,,
由,有,解得或。
所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点坐标只可能为……………6分
下面证明:对任意直线,均有。
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立。
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,,
联立,得,
其判别式,
所以,,,…………………………8分
因此。
又因为点关于轴对称的点的坐标为,
又,
,
所以,即三点共线,…………………………9分
所以,
故存在与点不同的定点,使得恒成立。……………………12分
20. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,.
(1)求证:EF∥平面DCP;
(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.
参考答案:
(1)见解析(2)
(1)取中点,连接,易得四边形为平行四边形,从而
所以∥平面;(2)平面,且四边形是正方形,两两垂直,以为原点,,,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求出平面与平面的法向量,代入公式得到所成锐二面角的余弦值.
解:方法一:
取中点,连接,
分别是中点, ,
为中点,为正方形,,
,四边形为平行四边形,
平面,平面,
平面.
方法二:
取中点,连接,.
是中点,是中点,,
又是中点,是中点,,
,,
又,平面,平面,平面,平面,平面平面.
又平面,平面.
方法三:
取中点,连接,,
在正方形中,是中点,是中点
又是中点,是中点,,
又,
,
,
平面//平面.
平面
平面
方法四:
平面,且四边形是正方形,两两垂直,以为原点,,,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
则
,
则设平面法向量为,
则, 即, 取,
,
所以 ,又平面, ∥平面.
平面,且四边形是正方形,两两垂直,以为原点,,,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
则
设平面法向量为,
,
则, 即,
取,
则设平面法向量为,
则, 即, 取,
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(若第一问用方法四,则第二问部分步骤可省略)
点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
21. 设a∈R,函数f(x)=lnx﹣ax.
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点P(1,﹣2)处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)先确定函数f(x)的定义域,然后对函数f(x)求导,根据导函数求出f′(1)=﹣1,得到切线方程.
(2)求出导函数,讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;
(3)分a≥1、0<a≤和<a<1三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是﹣a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2﹣2a.
【解答】解:(1)当a=2时,f′(1)=1﹣2=﹣1,则切线方程为y﹣(﹣2)=﹣(x﹣1),即x+y+1=0
(2)函数f(x)的定义域 为(0,+∞).f′(x)=
因为a>0,令f′(x)=0,可得x=;
当0<x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).
a≤0,f′(x)>0,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
(3)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2﹣2a.(
②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=﹣a.
③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在(1,)上是增函数,在(,2)上是减函数.
又∵f(2)﹣f(1)=ln2﹣a,
∴当<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=﹣a;
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2﹣2a.
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=﹣a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2﹣2a