江西省上饶市龙翔中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 实数满足条件,则的最小值为
A.16 B.4 C.1 D.
参考答案:
A
2. 双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于( )
A.
B.
C.
2
D.
4
参考答案:
考点:
双曲线的简单性质..
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系,即可得到m的值.
解答:
解:双曲线x2﹣my2=1化为,∴a2=1,,
∵实轴长是虚轴长的2倍,∴2a=2×2b,化为a2=4b2,,解得m=4.
故选D.
点评:
熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.
3. 已知p:函数在[3,+∞)上是增函数,q:函数在[3,+∞)是增函数,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
4. 已知集合A={0,1},B={﹣1,0,a+1},且A?B,则a=( )
A.1 B.0 C.﹣2 D.﹣3
参考答案:
B
考点: 集合关系中的参数取值问题.
专题: 计算题.
分析: 由集合间的包含关系可得a+1=1,由此解得a的值.
解答: 解:∵集合A={0,1},B={﹣1,0,a+1},且A?B,∴a+1=1,解得a=0,
故选B.
点评: 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,集合间的包含关系,属于基础题.
5. 设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )
A.(-2020,0) B.(-∞, -2020)
C.(-2016,0) D.(-∞, -2016)
参考答案:
B
6. 若函数在上是减函数,则 的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 设集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x>﹣1},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{﹣1,0} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.
【解答】解:∵A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x>﹣1},
∴A∩B={0,1,2},
故选:D.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
8. 设偶函数满足,则不等式>0的解集为_____.
参考答案:
9. 已知函数在定义域内有零点,则实数的取值范围
是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】函数的零点.B9
【答案解析】B 解析:函数f(x)=+lnx﹣1(a>0)的定义域为(0,+∞),
∵函数f(x)=+lnx﹣1(a>0)在定义域内有零点,
∴方程+lnx﹣1=0有解,即a=x﹣xlnx的值域,a′=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,
则a≤1﹣1ln1=1,故0<a≤1,故选B.
【思路点拨】将函数的零点化为方程的解,进而转化为函数的值域,问题得解.
10. 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,
任取正整数k(1≤k≤10),则前k项和大于的概率是
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由1,4,5,x可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之和为288,则x 的值为________
参考答案:
2
【知识点】计数原理的应用.J1
解析:当x≠0时,有A44=24个四位数,每个四位数的数字之和为1+4+5+x
故24(1+4+5+x)=288,解得x=2;当x=0时,每个四位数的数字之和为1+4+5=10,而288不能被10整除,即x=0不合题意,总上可知x=2,故答案为:2.
【思路点拨】根据题意,分情况讨论讨论,当x≠0时,四个数字进行全排列得到四位数,每个四位数的数字之和为1+4+5+x,24个四位数总和是24(1+4+5+x)=288得到x=2;当x=0时,288不能被10整除,即x=0不合题意,得到结果.
12. 已知定义域为R的函数f(x)满足下列性质:f(x+1)=f(﹣x﹣1),f(2﹣x)=﹣f(x) 则f(3)= .
参考答案:
0
【考点】抽象函数及其应用;函数的值.
【分析】由已知中f(x+1)=f(﹣x﹣1),f(2﹣x)=﹣f(x)可得:f(3)=﹣f(﹣1)=f(1)=﹣f(1),进而得答案.
【解答】解:∵函数f(x)满足下列性质:f(2﹣x)=﹣f(x)
∴当x=1时,f(1)=﹣f(1)
即f(1)=0,
∴当x=3时,f(3)=﹣f(﹣1),
又由f(x+1)=f(﹣x﹣1)得:x=0时,f(﹣1)=f(1)=0,
故f(3)=0.
故答案为:0.
【点评】本题考查的知识点是函数求值,抽象函数及其应用,难度中档.
13. 函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
参考答案:
③
略
14. 若某程序框图如图所示,则输出的S的值 .
参考答案:
15. 设,则
参考答案:
略
16. 已知,且,则的值为 .
参考答案:
17. 向量 ,若(, 则____.
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱锥中,底面ABC,,
AP=AC, 点,分别在棱上,且BC//平面ADE
(Ⅰ)求证:DE⊥平面;
(Ⅱ)当二面角为直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比。
参考答案:
(Ⅰ)略(Ⅱ)3
(Ⅰ)BC//平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE
BC//ED
∵PA⊥底面ABC,BC底面ABC ∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∵PA与AC是平面PAC内的两条相交直线
∴BC⊥平面PAC. 又BC//ED∴DE⊥平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∴,即AE⊥PC,
∵AP=AC, ∴E是PC的中点,ED是PBC的中位线。
略
19. 已知数列是递增的等比数列,满足,且是、的等差中项,数列 满足,其前项和为,且.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)设等比数列的公比为,则,,
∵是的等差中项,∴,即.
∵,∴,∴.
依题意,数列为等差数列,公差,
又,∴,∴,
∴
(Ⅱ)∵,∴.
不等式化为,∵,
∴对一切恒成立.
而,
当且仅当即时等号成立,∴.
20. 设f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法;基本不等式.
【分析】(Ⅰ)运用零点分区间,讨论x的范围,去绝对值,由一次函数的单调性可得最大值;
(Ⅱ)由a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2),运用重要不等式,可得最大值.
【解答】解:(Ⅰ)当x≤﹣1时,f(x)=3+x≤2;
当﹣1<x<1时,f(x)=﹣1﹣3x<2;
当x≥1时,f(x)=﹣x﹣3≤﹣4.
故当x=﹣1时,f(x)取得最大值m=2.
(Ⅱ)a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc),
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
此时,ab+bc取得最大值=1.
21. (本小题满分12分)
已知角A、B、C是的三个内角,若向量,,且
(1)求的值; (2)求的最大值。
19
参考答案:
(1)
(2)
(A,B均是锐角,即其正切均为正)
所求最大值为。
22. (本小题满分12分)
已知分别是的内角的对边,且
(1)求的值;
(2)求证:成等差数列;
(3)若周长为30,的平分线交AB于D,求的面积。
参考答案:
(1)∵C=2A,∴sinC=sin2A………………………2分[K]
∴∴.…………………4分(文5分)[K]
(2)∵
∴………………………6分[K] (文8分)
∵cosA=,∴,
……………(文10分)
∴