河北省保定市高碑店第三中学2022-2023学年高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线y =( k > 0 )的离心率用e = f ( k )来表示，则f ( k )（ ）
（A）在( 0，+ ∞ )上是增函数 （B）在( 0，+ ∞ )上是减函数
（C）在( 0，1 )上是增函数，在( 1，+ ∞ )上是减函数 （D）是常数
参考答案：
D
2. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球
参考答案：
D
3. 抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；
事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
C
略
4. 下列说法错误的是（ ）
A、用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
B、有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体一定都是棱台.
C、圆锥的轴截面是等腰三角形.
D、用一个平面去截球，截面是圆.
参考答案：
B
5. 已知向量，下列向量中与平行的向量是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 函数有且仅有两个不同的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
参考答案：
C
略
7. 已知m、n、s、t∈R*，m+n=3，其中m、n是常数且m＜n，若s+t的最小值 是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+3=0 B．4x﹣2y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣4=0
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知得（s+t）（）的最小值 是，即（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得，两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，求得k 即可
【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=3，，s+t的最小值 是，
∴（s+t）（）的最小值 是，
∴（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，
此时最小值为m+n+2=3+2，得：mn=2，又：m+n=3，所以，m=1，n=2．
设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，
得
两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，
∴k=．∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣4=0．
故选：D．
8. 将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成的几何体的侧面积为（ ）
（A）4π （B） （C） （D）2π
参考答案：
C
9. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ( )
A.
B.
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线所成的角为定值
参考答案：
D
10. 一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是（ ）
A 、 B、 C、 D、
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= ．
参考答案：
2
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，
即=r，
解得r=2，
故答案为：2．
12. 若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为 ．
参考答案：
﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最小值即可．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，
由平移可知当直线y=x﹣z，与x﹣y+1=0重合时，
直线y=x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，
可得x﹣y=﹣1，
即z=x﹣y的最小值是﹣1，
故答案为：﹣1
13. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做 次减法.
参考答案：
4
14. 直线被圆C：截得的弦长是
参考答案：
15. 某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 ．
参考答案：
50
16. 在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是 ．
参考答案：
±5
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：由题意， =1，
∴a=±5．
故答案为±5．
17. 命题“”的否定是____________ 。
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分） 设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．
参考答案：
19. 一组数据,,,,的平均数是,是这组数据的中位数,设.
（1）求的展开式中的项的系数;
（2）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.
参考答案：
解:依题意有:
不仿设,则 则这组数据中的中位数为7,故
的展开式中
故展开式中的项的系数为
2) 的展开式中共有8项,其中第四项和第五项的二项式系数最大,而第五项的系数为正且等于第五项的二项式系数,故第五项的系数最大,即系数最大项为=35
第四项的系数为负且等于第四项二项式的相反数,故第四项的系数最小,即系数最小项为
略
20. （13分）已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线,分别交直线 于点,,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值.
参考答案：
21. （本小题满分8分）已知三角形中，．（1）求点的轨迹方程；（2）求三角形的面积的最大值．
参考答案：
（1）以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，由，得，即为点的轨迹方程，所以点的轨迹是以为圆心，半径为 的圆．
（2）由于，所以，因为，所以，所以，即三角形的面积的最大值为.
22. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(Ⅰ)证明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;
参考答案：
(Ⅰ)
∴AD⊥D1F
(Ⅱ)
∴AE⊥D1F
AE与D1F所成的角为900
(Ⅲ)由以上可知D1F⊥平面AED
∴面AED⊥面A1FD1;