湖南省郴州市濠头学校高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数图象上任意点处切线的斜率为,则的最小值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 在中,,, 在边上,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 若双曲线的渐近线过点,则该双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
5. 角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan2θ=( )
A.2 B.﹣4 C. D.
参考答案:
D
【考点】G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式,进行计算即可.
【解答】解:∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,
∴tanθ=2;
∴tan2θ==﹣,
故选D.
6. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=1。若二面角C—AB—C1的大小为60°,则点C到平面C1AB的距离为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
A
略
7. 已知实数满足,则的最小值为
A、2 B、3 C、4 D、5
参考答案:
A
8. 已知函数满足,则函数的图象在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知曲线C:﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则PF1Q的周长为( )
A. B.5 C. D.4
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线的a,b,c,求得焦点,判断三角形PF1Q为等腰三角形,PQ⊥x轴,令x=2,求得|PQ|,再由勾股定理,求得|PF1|,即可求得周长.
【解答】解:双曲线C:﹣y2=1的a=,b=1,
c==2,
则F1(﹣2,0),F2(2,0),
由于点P的横坐标为2,则PQ⊥x轴,
令x=2则有y2=﹣1=,
即y=.即|PF2|=,
|PF1|===.
则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++
=.
故选:A.
10. 复数的值是( )
A. B. C.4 D.-4
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若不等式对于x∈R恒成立,则实数的取值范围是_________
参考答案:
略
12. 已知(2x+1)4=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4,则a1+a2+a3+a4的值是 .
参考答案:
0
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】在所给的等式中,令x=﹣1,可得a0=1,再令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4 =1,从而求得a1+a2+a3+a4的值.
【解答】解:在已知中,令x=﹣1,可得a0=1,
令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4 =1,∴a1+a2+a3+a4=0,
故答案为:0.
13. 已知函数f(x)=sin(>0).在内有7个最值点,则 的范围是--______
参考答案:
略
14. 已知扇环如图所示,∠AOB=120°,OA=2,OA′=,P是扇环边界上一动点,且满足=x+y,则2x+y的取值范围为 .
参考答案:
[,]
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】记,的夹角为θ,.设为直角坐标系的x轴.
=(rcosθ,rsinθ)(≤r≤2),=(2,0),=(﹣1,),
代入=x+y,得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(﹣y, y),
?rcosθ=2x﹣y,rsinθ=y,故2x+y=rcosθ+=r(),运用三角函数的知识求解.
【解答】解:记,的夹角为θ,.设为直角坐标系的x轴.
=(rcosθ,rsinθ)(≤r≤2),=(2,0),=(﹣1,),
代入=x+y,得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(﹣y, y),
?rcosθ=2x﹣y,rsinθ=y,
故2x+y=rcosθ+=r()
==,其中cosβ=,sin.
又∵.可以取到最大值,
当θ=0时. =1,当θ=1200时. =.
∴∈[,],
≤2x+y.∵≤r≤2,∴≤2x+y≤
故答案为:[,]
15. 已知向量与向量的夹角为120°,若且,则在上的投影为 .
参考答案:
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【专题】平面向量及应用.
【分析】因为向量与向量的夹角为120°,所以在上的投影为,问题转化为求.
【解答】解:因为向量与向量的夹角为120°,
所以在上的投影为,
问题转化为求,
因为,
故,
所以在上的投影为.
故答案为:.
【点评】本题考查在上的投影的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运用.
16. 给出以下五个命题:
①命题“”的否定是:“”.
②已知函数的图象经过点,则函数图象上过点P的切线斜率等于.
③是直线和直线垂直的充要条件.
④函数在区间上存在零点.
⑤已知向量与向量的夹角为锐角,那么实数的取值范围是.
其中正确命题的序号是________.
参考答案:
②③④
①命题“”的否定是,所以错误。②因为函数的图象经过点,所以有,所以,所以,,所以在点P处的切线斜率为,所以正确。③两直线的斜率分别为,若两直线垂直,所以有,即,所以,解得,所以③正确。④因为,,所以函数在区间上存在零点,所以④正确。⑤向量的夹角为若向量共线,则有,即,所以,此时有,向量夹角为0,要使的夹角为锐角,则有且。即,解得,所以实数的取值范围是且,所以⑤错误。所以正确的命题的序号为②③④。
17. 已知向量满足,则___________.
参考答案:
-1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)当二面角的大小为时,试判断点在上的位置,并说明理由.
参考答案:
(19)
(Ⅰ)证明:连接,由条件可得∥.
因为平面,平面,
所以∥平面. ----------------------(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2,
则,,,
,,
.
所以,.
设(),由已知可求得.
所以,.
设平面法向量为,
则 即
令,得.
易知是平面的法向量.
因为,
所以,所以平面平面. -------------------(8分)
(Ⅲ)解:设(),由(Ⅱ)可知,
平面法向量为.
因为,
所以是平面的一个法向量.
由已知二面角的大小为.
所以,
所以,解得.
所以点是的中点. ---(12分)
略
19. 已知函数(其中为常量,且)的图象经过点A(1,6)、B(3,24)。
(1)试确定的解析式;
(2)若不等式时恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
20. (本小题满分12分)设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若,且,求的值.
参考答案:
解析:
=.·················· 2分
(Ⅰ)令,则,
∴函数f(x)的单调递增区间为 ······································· 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ),
∵,∴,········································································ 6分
故,,··························· 10分
∴. 12分
略
21. 已知函数.
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期;
(Ⅱ) 已知内角的对边分别为,且,若向量与共线,求的值.
参考答案:
(Ⅰ)最小值为,最小正周期为;(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)
…………………………………………3
∴ 的最小值为,最小正周期为. ………………5
(Ⅱ)∵ , 即 …………6
∵ ,,∴ ,∴ . ……8
∵ 共线,∴ . ……………9
由正弦定理 , 得 …………………10
∵ ,由余弦定理,得, 故 ……12
略
22. [选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足。
求证:(1)∠PAC=∠CAB;
(2)AC2 =AP·AB.
参考答案:
证明:(1)因为切半圆O于点C,
所以,
因为为半圆O的直径,
所以,
因为AP⊥PC,所以,
所以.
(2)由(1)知△APC∽△ACB,故,
所以.