2022-2023学年天津武清区南蔡村中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，则的值为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
2. 下列四个命题中不正确的是
A.若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分
B.设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C.已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆
D.已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
参考答案：
D
A中是双曲线去掉与X轴交点，B中的抛物线取X轴上半部分，C中符合椭圆定义是正确，D中应为双曲线一支。故选D
3. 已知M为△ABC的边AB的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，若，则λ的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
参考答案：
A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义．
【分析】由题意满足，可得：四边形PACB是平行四边形，又M为△ABC的边AB的中点，可得PC=2PM，即可得出．
【解答】解：由题意满足，可得：四边形PACB是平行四边形，
又M为△ABC的边AB的中点，
∴PC=2PM，，
∴λ=2．
故选：A．
4. 已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则=（ ）
A． B． C．3 D．2
参考答案：
A
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．
【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，
以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），
∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），
=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）
?λ=m，μ=，
则=．
故选：A
5. 双曲线离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 已知为等差数列，为等比数列，其公比q≠1且，,若，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
∵数列是等差数列，数列是等比数列，，，
∴，∴，又，∴，∴，
故选A.
7. 我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
B
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．
【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．
设抽到的最小编号x，
则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，
所以x=3．
故选：B．
【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．
8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数
的“新驻点”分别为，则的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 在△ABC中，若a=4，b=3，cosA=，则B=( )
A． B． C．或π D．π
参考答案：
A
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：cosA=，A∈（0，π），可得，由正弦定理可得：，即可得出sinB．而a＞b，可得A＞B．即可得出．
解答： 解：∵cosA=，A∈（0，π），
∴=．
由正弦定理可得：，
∴sinB===．
∵a＞b，
∴A＞B．
∴B为锐角，∴．
故选：A．
点评：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．
10. 设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（π﹣x）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1； 当x∈（0，π）且x时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣|lg（x+1）|在（﹣1，2π]上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
A
【分析】以分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结果．
【解答】解：∵f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∵f（π﹣x）=f（x），
∴f（x﹣π）=f（x），
∴f（x）是以π为周期的周期函数，
当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1，
∵x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
分别画出y=f（x）与y=|lg（x+1）|的草图如图，
由图象可得函数y=f（x）﹣|lg（x+1）|在（﹣1，2π]上的零点个数为5个，
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，利用数形结合的思想来求解，会化难为易．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 关于函数，给出下列命题：
①的最小正周期为；
②在区间上为增函数；
③直线是函数图象的一条对称轴；
④函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；
⑤对任意，恒有．
其中正确命题的序号是 ____________．
参考答案：
②③⑤
命题意图：本题综合考察三角恒等变换、三角函数的性质，较难题．
12. 已知，
则=
参考答案：
11
13.
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数.已知下列函数：①②;③;④.则其中为一阶格点函数的序号为
参考答案：
答案：② ④
14. 设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为 ．
参考答案：
π
考点：
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
根据题意，这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成，求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果．
解答：
解：由题意可知函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体
是由一个半球与一个圆锥组成，球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1，
所以所求几何体的体积为：=π．
故答案为：π
点评：
本题考查旋转体的体积的求法，判断几何体的性质是解题的关键，注意准确利用公式进行计算．
15. 若 ，则目标函数的取值范围是
参考答案：
略
16. 设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．
参考答案：
②④
17. 已知等比数列{an}的首项为，公比为，前n项和为，且对任意的*，都有恒成立，则的最小值为______________．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
如图，已知在平面M上的正投影(投影线垂直于投影面)是正，
且成等差数列.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求多面体的体积;
(3)若,且,求与平面所成的角.
参考答案：
(1)分别取AC、A1C1的中点E、F，连接BE、EF、B1F,
可证BB1FE为矩形，，
是正三角形，
平面AA1C1C，
，平面AA1C1C，
又平面ABC，所以平面平面;
(2)分别延长A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，
则A1B1C1—A2B2C2为正三棱锥
所以;
(3)(法一)坐标法(略)
19. （在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求实数a的值；
（Ⅱ）若直线l过点（a，a），求直线l被圆C截得的弦长．
参考答案：
（Ⅰ）易求得直线，圆：，
依题意，有，解得或. ………………………………（5分）
（Ⅱ）因为直线过点，所以，可得圆：，所以圆心到直线的距离为，故弦长为.…（10分）
20. 已知△ABC中，A，B， C的对边分别为a，b，c，且。
（1）若，求边c的大小；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．
参考答案：
略
21. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA 底面ABCD．SA =AD=1，点M是SD的中点，ANSC，交SC于点N.
(I)求证：平面SACV平面AMN；
(Ⅱ)求三棱锥S-A CM的体积．
参考答案：
证明：（1）∵底面，∴
又∴面
∴…………①…………………………3分
又，且是的中点，∴……………………②
由①②得面 ∴
又 ∴面
∴平面平面……………………………………………………6分
（2）∵是的中点，∴……………………9分
…………12分
略
22. 已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．
（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．
参考答案：
解（Ⅰ）、、成等差，且公差为2，
、. 又，，
， ，
恒等变形得 ，解得或.又，.
（Ⅱ）在中，， ，，.
的周长
，
又，,
当即时，取得最大值．
略