北京陶行知中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于( )
A. B. C. 1 D .
参考答案:
A
2. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为的正方形,两条虚线互相垂直,则该
几何体的体积是
. . . .
参考答案:
B
试题分析:根据题中所给的几何体的三视图,可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体,所以其体积为,故选B.
考点:根据三视图还原几何体,求其体积.
3. 已知复数为虚数单位,则的共轭复数是
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知数列是等比数列,且,则公比的值是 ( )
A. B.-2
C. D.
参考答案:
C
略
5. 函数为奇函数,该函数的部分图像如图所示,分别为最高点与最低点,并且,则该函数图像的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知实数满足不等式组,则函数的最大值为
A.2 B.4 C.5 D.6
参考答案:
D
作出可行域如下图,当直线过点C时,最大,由得,所以的最大值为.
7. 设为虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
参考答案:
B
8. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其 中支出在[50,60)元的同学有30人,则n的值为( ).
A.100 B.1000 C.90 D.900
参考答案:
A
9. 若复数为纯虚数,则的值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
C
考点:复数的有关概念及运算.
10. 若双曲线:与抛物线的准线交于两点,且,则的值是
A. 1 B. C. 4 D. 13
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对于任意的实数x∈(0,],都有2﹣2x﹣logax<0恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
<a<1
【考点】函数恒成立问题.
【分析】由题意可得,时,函数y=2﹣2x的图象在函数y=logax的图象的下方,可得0<a<1.再根据它们的单调性可得<loga,解此对数不等式求得a的范围
【解答】解:若对于任意的实数,都有2﹣2x﹣logax<0恒成立,
即对于任意的实数,都有logax>2﹣2x恒成立,
则y=logax的图象恒在y=图象的上方,
∴0<a<1.
再根据它们的单调性可得<loga,
即>,
∴a>,
综上可得,<a<1,
故答案为:<a<1
12. 设曲线y=x2﹣x在点(3,6)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= .
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求函数的导数,得到切线斜率,根据直线垂直关系即可得到解得结论.
【解答】解:函数的导数y′=2x﹣1,
则曲线y=x2﹣x在点(3,6)处的切线斜率k=5,
∵直线ax+y+1=0的斜截式方程为y=﹣ax﹣1,斜率为﹣a,
∴若切线与直线ax+y+1=0垂直,则﹣a×5=﹣1,
则a=,
故答案为.
13. 在直角中,,, ,为斜边的中点,
则 =
参考答案:
-1
14. 一个几何体的三视图如右图所示,则其体积为 .
参考答案:
4
15. 函数在区间()内单调递增,则a的取值范围是
参考答案:
16. 已知曲线C的极坐标方程为,则C与极轴的交点到极点的距离是 。
参考答案:
17. 下列几个命题:
① 不等式的解集为;
② 已知均为正数,且,则的最小值为9;
③ 已知,则的最大值为;
④ 已知均为正数,且,则的最小值为7;
其中正确的有 .(以序号作答)
参考答案:
2,4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列的前项和为,已知,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,证明:.
参考答案:
解:(1)∵,当时,
两式相减得: ………2分
∴ 即 ……………4分
又 ∴ ∴; ………6分
所以是公比为2的等比数列;∴ 即……………7分
(2)∵ ∴ ……………9分
∴
……………10分
∴ ……………14分
19. 已知曲线与,直线与都相切,求直线的方程.
参考答案:
解析:设与相切于点与相切于.
对于,则与相切于点的切线方程为,即,
对于,则与相切于点的切线方程为,
即.
两切线重合,
,且.
解得或.
直线方程为或.
20. 某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品,现有某种型号的长方形材料如图2所示,其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况.如图,ABCD(AB>AD)为长方形的材料,沿AC折叠后交DC于点P,设△ADP的面积为,折叠后重合部分△ACP的面积为.
(Ⅰ)设m,用表示图中的长度,并写出的取值范围;
(Ⅱ)求面积最大时,应怎样设计材料的长和宽?
(Ⅲ)求面积最大时,应怎样设计材料的长和宽?
参考答案:
(Ⅰ)由题意,,,.…………1分
设,则,由△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x﹣y,
由PA2=AD2+DP2,得即:…………3分
(Ⅱ)记△ADP的面积为,则.…………5分
当且仅当时,取得最大值.
故当材料长为,宽为时,最大.….…………7分
(Ⅲ)
于是令.…………9分
关于的函数在上递增,在上递减,
当时, 取得最大值.
故当材料长为,宽为时, 最大..…………12分
21. (本题满分13分)如图,是以为直径的半圆上异于、的点,矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若异面直线和所成的角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)∵平面垂直于圆所在的平面,两平面的交线为,平面,,∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内,∴.∵是直角,∴,∴平面,∴.
…………6分
(Ⅱ) 如图,以点为坐标原点,所在的直线为轴,过点与平行的直线为轴,建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为,知,
∴,
∴,由题设可知,,∴,.设平面的一个法向量为,
由,得,,取,得.
∴.又平面的一个法向量为,∴.
平面与平面所成的锐二面角的余弦值. …………13分
(其他解法可参考给分)
22. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
参考答案:
(1)
得0
∴在上递减,在上递增.
(2)∵函数在处取得极值,∴,
∴,
令,可得在上递减,在上递增,
∴,即.
(3)证明:,
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增.
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有.
略