江苏省常州市芙蓉中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列中,,记,S13=( )
A.78 B.68 C.56 D.52
参考答案:
D
2. 已知集合,,则A∩B=( )
A.[-4,1)∪(3,4] B. [-4,-3)∪(-1,4]
C. (-4,1)∪(3,4) D. (-4,-3)∪(-1,4)
参考答案:
A
求解二次不等式可得:,
求解对数不等式可得:,
结合交集的定义有:.
本题选择A选项.
3. 函数在(0,1)上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.(1,2) C. D.
参考答案:
C
略
4. 执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的S属于( )
A.[-4,2] B.[-2,2] C.[-2,4] D.[-4,0]
参考答案:
A
5. 圆x2+y2=4被直线截得的弦长为
A. B. C.3 D.2
参考答案:
D
6.
参考答案:
7. 设函数y=的定义域为A,函数y=ln(x﹣1)的定义域为B,则A∩B=( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(﹣2,1) D.[﹣2,1)
参考答案:
B
【分析】利用函数的定义域分别求出集合A,B,由此能求出A∩B.
【解答】解:函数y=的定义域为A,函数y=ln(x﹣1)的定义域为B,
∴A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2},
B={x|x﹣1>0}={x|x>1}.
∴A∩B={x|1<x≤2}=(1,2].
故选:B.
【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义、函数性质的合理运用.
8. 若直线y=3x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣1)
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【分析】由题意作出其平面区域,先解出点A的坐标,再结合图象写出实数m的取值范围即可.
【解答】解:由题意作出其平面区域,
结合图象可得,
,
解得,A(﹣1,﹣3);
故m>﹣1;
故选A.
9. 棱长为1的正四面体ABCD中,点M和N分别是边AB和CD的中点,则线段MN的长度为( )
A. B. C. D. 2
参考答案:
A
【分析】
连接,则,故而,利用勾股定理计算即可
【详解】连接,
∵正四面体棱长为1,是的中点,
∴,
∵是的中点,∴,
∴.
故选:A.
【点睛】本题考查了棱锥的结构特征,空间距离的计算,属于基础题
10. 已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(0,1) D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数x,y满足,则2x+y的最大值是 .
参考答案:
14
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=2x+y,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,
直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,
由,解得A(4,6),
此时zmax=2×4+6=14.
故答案为:14.
12. 若常数b满足|b|>1,则 .
参考答案:
答案:
13. 下表给出一个“直角三角形数阵”
……
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且各行的公比都相等,记第i行第j列的数为等于 .
参考答案:
14. 在平面几何中:ΔABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间:在三棱锥A — BCD中(如图)DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E ,则得到类比的结论是 .
参考答案:
略
15. 已知角α的终边上有一点P(﹣3,4),则sinα+2cosα= .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由题意可得x=﹣3,y=4,r=5,可得cosα和sinα的值,从而求得sinα+2cosα 的值.
【解答】解:∵角α的终边上有一点P(﹣3,4),
∴x=﹣3,y=4,r==5,
∴cosα==﹣,sinα==,
∴sinα+2cosα=+2×(﹣)=﹣,
故答案为:﹣.
16. 设函数,则下列结论正确的有 (把你认为正确的序号都写上).
①的值域为 ②的图象关于轴对称
③不是周期函数 ④不是单调函数
参考答案:
①②④
略
17. 已知是奇函数,且,若,则 。
参考答案:
因为为奇函数,所以,所以,,
所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t是参数).
(Ⅰ) 若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,试求实数m值.
(Ⅱ) 设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
参考答案:
考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题:坐标系和参数方程.
分析:(I)由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,可得x2+y2﹣4x=0.把(t是参数)代入方程上述方程可得根与系数的关系,利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出;
(II)曲线C的方程可化为(x﹣2)2+y2=4,其参数方程为(θ为参数),设M(x,y)为曲线C上任意一点,,利用正弦函数的值域即可得出.
解答: 解:(I)由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2﹣4x=0.
把(t是参数)代入方程上述方程可得:=0,
∴t1+t2=﹣(m﹣2),t1t2=m2﹣4m.
∴|AB|=|t1﹣t2|===,解得m=1或3.
(II)曲线C的方程可化为(x﹣2)2+y2=4,其参数方程为(θ为参数),
设M(x,y)为曲线C上任意一点,,
∵∈,
∴x+y的取值范围是.
点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数的应用、正弦函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题.
19. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,已知圆是的外接圆,,是边上的高,是圆的直径.过点作圆的切线交的延长线于点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求的长.
参考答案:
(I)证明:连结,由题意知为直角三角形. ………1分
因为,,∽,………2分
所以,…………………………………………………………3分
即.……………………………………………………4分
又,所以. ………………………………5分
(Ⅱ)因为是圆的切线,所以,………………………6分
又,所以,………………7分
因为,又,所以∽. ………8分
所以,得
………………………9分
……………………………………………10分
20. (本小题满分14分)
已知函数.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o,问:m在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值?
参考答案:
(I)当时,, ……ks5u……………………2分
令时,解得,所以在(0,1)上单调递增; ……4分
令时,解得,所以在(1,+∞)上单调递减. ………6分
(II)因为函数的图象在点(2,)处的切线的倾斜角为45o,
所以.
所以,. ………………………………………………8分
,
, ……………………………………………10分
因为任意的,函数在区间上总存在极值,
所以只需 ……………………………………………………12分
解得. ………………………………………………………14分
21.
(14分)已知函数(∈R)满足且使=2成立的实数只有—个
(1)求函数的表达式;
(2)若数列{an}满足证明数列{}是等比数列,并求出{ }的通项公式;
(3)在(2)的条件下,证明:
参考答案:
解析:(1)由,得a=2b+1 2分
由f (x)= 2x只有一个解,即,也就是只有一解,
∴b=-1,∴a=-1,故 4分
(2)
∴为等比数列,q=1/2,
(3)∵
12分
14分
22. 如图,三角形中,,是边长为的正方形,平面⊥底面,若、分别是、的中点.
(Ⅰ)求证:∥底面;
(Ⅱ)求证:⊥平面;
(Ⅲ)求几何体的体积.
直,线面垂直的性质定理等可证,,代入数字,得到结果.
试题解析:(I)解:取的中点,连结,(如图)
参考答案:
详见解析