江苏省盐城市第二中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知满足时, 的最大值为2,则直线过定点( )
A.(3,1) B. (-1,3) C. (1,3) D.(-3,1)
参考答案:
A
由,得,画出可行域,如图所示,数学结合可知在点处取得最大值,,即: ,直线过定点.
2. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知命题p:,使;命题q:,都有.
给出下列命题:(1)命题“”是真命题;(2)命题“”是假命题;
(3)命题“”是真命题;(4)命题“”是假命题.其中正确的是( )
A.(2)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(4)
参考答案:
A
略
4. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( )
A. 1 B. 3 C.4 D.8
参考答案:
C
5. 已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),则下列判断中不正确的是( )
A.函数图象经过点(﹣1,1)
B.当x∈[﹣1,2]时,函数f(x)的值域是[0,4]
C.函数满足f(x)+f(﹣x)=0
D.函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,0]
参考答案:
C
【考点】幂函数的性质.
【分析】由幂函数y=xa的图象经过点(8,4),求得幂函数的解析式,再由所得的解析式求出函数的值域、单调性等性质,得到答案.
【解答】解:∵幂函数y=xa的图象经过点(2,4),
∴4=2a,即22=2a
解得a=2
故函数的解析式为y=x2,
故函数图象经过点(﹣1,1);A正确;
当x∈[﹣1,2]时,函数f(x)的值域是[0,4];正确;
由于f(﹣x)=(﹣x)2=x2,函数不满足f(x)+f(﹣x)=0;C错;
函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,0];正确
故选C.
6. 若向量,,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
.
7. 将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为,甲、乙分到同一组的概率为,则的值分别为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
参考答案:
A
略
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线的顶点在原点,它的准线与双曲线的左准线重合,若双曲线与抛物线的交点满足,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
答案:B
9. 已知全集U=R,则正确表示集合M={ xR|0≤x≤2}和集合N={ xR|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是( )
参考答案:
B
10. 等差数列的值是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,且,则的值为 .
参考答案:
1
函数是奇函数,则,
即:,
从而有:,
令可得:,
令可得:,
原式:.
12. 已知等差数列{an}中,a3=,则cos(a1+a2+a6)= .
参考答案:
﹣1
【考点】等差数列的通项公式.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a1+a2+a6,则cos(a1+a2+a6)可求.
【解答】解:∵数列{an}为等差数列,且a3=,∴a1+a2+a6=,
∴cos(a1+a2+a6)=cosπ=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了三角函数的求值,是基础的计算题.
13. 等差数列{an}的前10项和为30,则a1+a4+a7+a10= 12 .
参考答案:
考点:
等差数列的前n项和.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6.由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7,进而可得答案.
解答:
解:∵等差数列{an}的前10项和为30,∴,解得a1+a10=6.
由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7,
∴a1+a4+a7+a10=2(a1+a10)=2×6=12.
∴a1+a4+a7+a10=12.
故答案为12.
点评:
熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键.
14. 若行列式中元素4的代数余子式的值为,则实数x的取值集合为 .
参考答案:
【考点】OY:三阶矩阵.
【分析】求得元素4的代数余子式,展开,利用二倍角公式,及特殊角的三角函数值,即可求得实数x的取值集合.
【解答】解:行列式中元素4的代数余子式A13==,
则cos2﹣sin2=,则cosx=,
解得:x=2kπ±,k∈Z,
实数x的取值集合,
故答案为:.
【点评】本题考查行列式的代数余子式求法,行列式的展开,二倍角公式,特殊角的三角形函数值,考查计算能力,属于中档题.
15. 在的二项展开式中,的系数是_______________.
参考答案:
-20
16. 有一个奇数组成的数阵排列如下:
则第30行从左到右第3个数是 .
参考答案:
略
17. 在等比数列中,,,令,则取最大值时,的所有可能的取值应该是 。
参考答案:
3和5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令,Tn为数列{cn}的前n项和,求T2n.
参考答案:
考点: 数列的求和;数列递推式.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: (I)利用等比数列的通项公式即可得出.
(II)由(I)可得:cn=.可得T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n),对奇数项与偶数项分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出.
解答: 解:(I)∵S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2.
∴S3﹣S2=a4﹣2a2=a3,
∴,a2≠0,化为q2﹣q﹣2=0,q>0,解得q=2,
又a1+a2=2a2﹣2,
∴a2﹣a1﹣2=0,∴2a1﹣a1﹣2=0,解得a1=2,
∴.
(II)由(I)可得:cn=.
∴T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n),
记M=(c2+c4+…+c2n)
=+…+
=+…+,
则=+…+,
∴=+…+﹣=﹣=,
∴M=﹣.
∴T2n=+M
=+M
=+﹣.
点评: 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 如图,在四棱柱中,底面是矩形,且,,.若为的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)线段上是否存在一点,使得二面角为?若存在,求出的长;不存在,说明理由.
参考答案:
(1)证明略;(2)存在这样的点,使二面角为.
试题分析:(1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧知识的迁移融合也很重要,在平面几何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,有时很方便;(2)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;(3)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键,空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:(1)证明:∵,且,,
∴,…………………………………………2分
∴
∴.…………………………………………3分
又,且,
∴平面.…………………………………………5分
(2)解:过作,以为原点,建立空间直角坐标系(如图),
则,,……………………………6分
设,平面的法向量为=,
∵,,
且
取,得=.……………………………8分
又平面,且平面,
∴平面平面.
又,且平面平面
∴平面.
不妨设平面的法向量为=.………………………10分
由题意得,……………………12分
解得或(舍去).
∴当的长为时,二面角的值为.………………………13分
考点:1、直线与平面垂直的判定;2、立体几何的探究性问题.
20. 已知在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,向量与向量共线.
(1)求角C的值;
(2)若,求的最小值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(1)利用两个向量的数量积公式,两个向量共线的性质,正弦定理、余弦定理,求得cosC的值,可得C的值.
(2)利用两个向量的数量积的定义求得||||的值,利用以及基本不等式,求得的最小值.
【解答】解:(1)向量与向量共线.
∴(a﹣b)?sin(A+C)=(a﹣c)(sinA+sinC),由正弦定理可得(a﹣b)?b=(a﹣c)(a+c),
∴c2=a2+b2﹣ab,∴,∵0<C<π,∴.
(2)∵,∴,∴,∴,∵,
∴,∴,(当且仅当时,取“=”),
∴的最小值为.
21. (本小题满分15分)已知椭圆经过点(0,1),离心率。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为。
①求的面积的最大值(为坐标原点);
②“当m变化时,直线与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由.
参考答案:
(1)
(2)①设
由得
令,则且,
易知当时有最小值
②
令则为定值。
略
22. (12分)如图,在四棱锥中P﹣ABCD,底面ABCD为边长为的正方形,PA⊥BD.
(1)求证:PB=PD;
(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小.
参考答案:
【分析】(1)连接AC,BD交于点O,连结PO,则AC⊥BD,结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC,故而BD⊥PO,又O为BD的中点,得出OP为BD的中垂线,得出结论;
(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,证明四边形AQEF是平行四边形,于是AQ⊥平面PCD,通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA,结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD,以A为原点建立空间直角坐标系,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos<>|,从而得出线面角的大小.
【解答】解:(1)连接AC,BD交于点O,连结PO.
∵底