江西省九江市武宁外国语学校高三数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为( )
A．4 B． C． D．2
参考答案：
D
3. 定义两种运算：则函数（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
参考答案：
【知识点】函数奇偶性的判断. B4
【答案解析】A 解析：根据题意得：，由得
这时，所以
因为，是奇函数，所以选A.
【思路点拨】先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（-x）的关系得结论．
4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．52 B．78 C．104 D．208
参考答案：
C
考点：等差数列性质
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
5. 已知，数列 的前项和为，则使的n最小值：（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
参考答案：
C
略
6. 若恒成立，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
参考答案：
B
7. 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
解：选D．由．
8. 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
9. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.
【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，
所以，因此,故本题选A.
【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.
10. 设p：y＝cx(c＞0)是R上的单调递减函数；q：函数g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R.如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则c的取值范围是( )
A. B.
C. ∪[1，＋∞) D.
参考答案：
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若变量满足约束条件，则的最大值为
参考答案：
3
12. 如右图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC 边上，∠ADC=，则AD的长为
参考答案：
在△ABC中，因为AB=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以AD=。
13. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=BD1（）。下面结论：
①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则；
③若△PAC为钝角三角形，则；④若，则△PAC为锐角三角形。
其中正确的结论为 。（写出所有正确结论的序号）
参考答案：
略
14. 已知，若，则 _______。
参考答案：
0或2
略
15. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
参考答案：
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】10 根据等差数列的性质可得：am-1+am+1=2am，
∵am-1+am+1- =0，∴2am-am2=0∴am=0或am=2
若am=0，显然S2m-1=（2m-1）am不成立∴am=2∴s2m-1= =（2m-1）am=38，
解得m=10．故答案为：10
【思路点拨】根据等差数列的性质可知，am-1+am+1=2am，代入am-1+am+1-=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值
16. 已知在时有极值0，则的值为 ．
参考答案：
-7
略
17. （坐标系与参数方程选做题）已知直线（为参数）相交于、两点，则||= .
参考答案：
6
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知⊙与⊙相交于，两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙，⊙于点，与相交于点.
（1）求证：；
（2）若是⊙的切线，且，，，求的长.
参考答案：
（1）详见解析；（2）
（Ⅱ）设，
∵，
∴，①
∵，
∴，
且.
由是的切线，，②
由①②可得，，，…………………………10分
考点：与圆有关的比例线段．
19. 如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
参考答案：
解：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD
∴BD⊥平面APC，平面PAC，
∴BD⊥FG …………3分
（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD， …………4分
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD． …………7分
（III）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）
…………3分
（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，
而，
由可得，解得
…………6分
故当时，FG//平面PBD …………7分
设平面PBC的一个法向量为
则，而
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………12分
20. 已知等比数列前项和为,且满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的值.
参考答案：
（Ⅰ）an=2n﹣2 (Ⅱ) 275．
解析：（Ⅰ）由题意可得，公比q≠1，再由S3=，S6=可得 ，解得，故通项公式为 an=?2n﹣1=2n﹣2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得log2an=n﹣2，∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a25 =﹣1+0+1+2+…+23
==275．
略
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），
以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A、B，求的值．
参考答案：
（1），；（2）．
（1）消去参数得直线的普通方程为；
因为，所以，
所以曲线的直角坐标方程是．
（2）点是直线上的点，设，两点对应的参数分别为，，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
方程判别式，可得，．
于是．
22. （本小题满分12分）
中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.
（Ｉ）求的值；
（II）求的面积.
参考答案：
三． （Ⅰ）由题意知：，
，
由正弦定理得：
（Ⅱ）由得.
,
，
因此，的面积.