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江西省九江市武宁外国语学校高三数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 若集合,集合,则“”是“”的(    ) A.充分不必要条件                    B.必要不充分条件 C.充分必要条件                      D.既不充分也不必要条件 参考答案: A 2. 把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为(  ) A.4        B.       C.       D.2 参考答案: D 3. 定义两种运算:则函数(  )    A.  是奇函数                 B. 是偶函数    C.既是奇函数又是偶函数       D. 既不是奇函数又不是偶函数 参考答案: 【知识点】函数奇偶性的判断.   B4 【答案解析】A 解析:根据题意得:,由得 这时,所以 因为,是奇函数,所以选A. 【思路点拨】先利用新定义把f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最后看f(x)与f(-x)的关系得结论. 4. 设等差数列的前项和为,且,则(    ) A.52   B.78    C.104    D.208 参考答案: C   考点:等差数列性质 【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 5. 已知,数列 的前项和为,则使的n最小值:(     ) A.99      B.100      C.101     D.102 参考答案: C 略 6. 若恒成立,则实数m的取值范围为(   )          A.       B.          C.                   D. 参考答案: B 7. 函数的定义域为(  ) A.  B.  C.  D. 参考答案: 解:选D.由. 8. 已知直线x+ay﹣1=0是圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴,过点A(﹣4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(  ) A.2 B.6 C.4 D.2 参考答案: B 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),求得a的值,可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值. 【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2 =4, 表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆. 由题意可得,直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1), 故有2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点A(﹣4,﹣1). ∵AC==2,CB=R=2, ∴切线的长|AB|===6. 故选:B. 9. 我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为(    ). A. B. C. D. 参考答案: A 【分析】 设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件,可以求,运用公式,求出. 【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件, 所以,因此,故本题选A. 【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题,考查了运算能力. 10. 设p:y=cx(c>0)是R上的单调递减函数;q:函数g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域为R.如果“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,则c的取值范围是(  ) A. B. C. ∪[1,+∞)  D. 参考答案: A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量满足约束条件,则的最大值为                      参考答案: 3 12. 如右图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=,点D在BC        边上,∠ADC=,则AD的长为          参考答案: 在△ABC中,因为AB=AC=2,BC=,所以,又∠ADC=,所以∠DAC=,所以CD=AC=2,所以由余弦定理得:,所以AD=。 13. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点,且BP=BD1()。下面结论: ①A1D⊥C1P;②若BD1⊥平面PAC,则; ③若△PAC为钝角三角形,则;④若,则△PAC为锐角三角形。 其中正确的结论为                   。(写出所有正确结论的序号) 参考答案: 略 14. 已知,若,则     _______。 参考答案: 0或2 略 15. 等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=________. 参考答案: 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2 【答案解析】10  根据等差数列的性质可得:am-1+am+1=2am, ∵am-1+am+1- =0,∴2am-am2=0∴am=0或am=2 若am=0,显然S2m-1=(2m-1)am不成立∴am=2∴s2m-1= =(2m-1)am=38, 解得m=10.故答案为:10 【思路点拨】根据等差数列的性质可知,am-1+am+1=2am,代入am-1+am+1-=0中,即可求出am,然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和,利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式,把第m项的值代入即可求出m的值 16. 已知在时有极值0,则的值为    . 参考答案: -7 略 17. (坐标系与参数方程选做题)已知直线(为参数)相交于、两点,则||= . 参考答案: 6 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙与⊙相交于,两点,过点作⊙的切线交⊙于点,过点作两圆的割线,分别交⊙,⊙于点,与相交于点. (1)求证:; (2)若是⊙的切线,且,,,求的长. 参考答案: (1)详见解析;(2) (Ⅱ)设,   ∵, ∴,① ∵, ∴, 且. 由是的切线,,② 由①②可得,,,…………………………10分 考点:与圆有关的比例线段. 19. 如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.     (1)求证:BD⊥FG; (2)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由. (3)当二面角B—PC—D的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值. 参考答案: 解:方法一:(I)面ABCD,四边形ABCD是正方形,     其对角线BD,AC交于点E,∴PA⊥BD,AC⊥BD        ∴BD⊥平面APC,平面PAC, ∴BD⊥FG            …………3分    (II)当G为EC中点,即时,FG//平面PBD, …………4分     理由如下:     连接PE,由F为PC中点,G为EC中点,知FG//PE,     而FG平面PBD,PB平面PBD,  故FG//平面PBD.    …………7分    (III)作BH⊥PC于H,连结DH,     ∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,     ∴PB=PD,     又∵BC=DC,PC=PC,         方法二解:以A为原点,AB,AD,PA所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,     设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)       D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),    (I)             …………3分    (II)要使FG//平面PBD,只需FG//EP,     而,     由可得,解得          …………6分         故当时,FG//平面PBD …………7分     设平面PBC的一个法向量为     则,而     ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是    …………12分 20. 已知等比数列前项和为,且满足, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求的值.   参考答案: (Ⅰ)an=2n﹣2 (Ⅱ) 275.   解析:(Ⅰ)由题意可得,公比q≠1,再由S3=,S6=可得 ,解得,故通项公式为 an=?2n﹣1=2n﹣2. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得log2an=n﹣2,∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a25 =﹣1+0+1+2+…+23 ==275.   略 21. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数), 以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. (1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程; (2)设点,直线l与曲线C相交于两点A、B,求的值. 参考答案: (1),;(2). (1)消去参数得直线的普通方程为; 因为,所以, 所以曲线的直角坐标方程是. (2)点是直线上的点,设,两点对应的参数分别为,, 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得, 方程判别式,可得,. 于是. 22. (本小题满分12分) 中,角A,B,C所对的边分别为. 已知. (I)求的值; (II)求的面积. 参考答案: 三.    (Ⅰ)由题意知:,        ,     由正弦定理得: (Ⅱ)由得. , , 因此,的面积.
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