江西省宜春市靖安第二中学2022年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “”是“”的
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
参考答案：
A【知识点】集合;命题及其关系 A1 A2
当时集合一定成立，而当成立时不一定等于2，所以“”是“”的充分而不必要条件，所以A正确.
【思路点拨】根据集合的关系可知两个集合之间的充分必要性.
2. 一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为 （ ）
（A）6 （B）12 （C）72 （D）144
参考答案：
C
若A、C、E坐大人，则B、D、F坐小孩；
若B、D、F坐大人，则A、C、E坐小孩.共有种方法.
3. 各项均为正数的等比数列中，且，则等于（ ）
A．16 B．27 C．36 D．－27
参考答案：
B
4. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A 的弧度数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.
【试题分析】因为的面积,所以,.
5. 设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
参考答案：
B
【考点】并集及其运算．
【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．
【解答】解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
6. 若“﹣2＜x＜3”是“x2+mx﹣2m2＜0（m＞0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】x2+mx﹣2m2＜0（m＞0），解得﹣2m＜x＜m．根据“﹣2＜x＜3”是“x2+mx﹣2m2＜0（m＞0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m＞0．解出即可得出．
【解答】解：x2+mx﹣2m2＜0（m＞0），解得﹣2m＜x＜m．
∵“﹣2＜x＜3”是“x2+mx﹣2m2＜0（m＞0）”的充分不必要条件，
∴﹣2m≤﹣2，3≤m，m＞0．
解得m≥3．
则实数m的取值范围是[3，+∞）．
故选：C．
7. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
8. 在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 若， 则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 函数(其中)的图象不可能是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
对于，当时，，且，故可能；对于，当且时，，当且时，在为减函数，故可能；对于,当且时，，当且时，在上为增函数，故可能，且不可能.
故选C.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则的解集是________．
参考答案：
略
12. 如图，在中，是边上一点，则.
参考答案：
答案：
解析：由余弦定理得可得，
又夹角大小为，，
所以.
13.
若不等式|x-2|+|x+3|<的解集为?,则的取值范围为_____________.
参考答案：
答案：
14. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为
参考答案：
（0，1/2）
略
15. 若函数满足：存在，对定义域内
的任意恒成立，则称
为函数. 现给出下列函数：
①； ②；③；④.
其中为函数的序号是 ▲ ．（把你认为正确的序号都填上）
参考答案：
④
略
16. 在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出来x=2，类似地不难得到= ．
参考答案：
【考点】类比推理．
【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．
【解答】解：可以令1+=t（t＞0），由1+=t解的其值为，
故答案为．
17. 圆心在，半径为3的圆的极坐标方程是
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知函数，其中且
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;
（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.
参考答案：
(I)f(x)的定义域为.
其导数………1分
①当时,,函数在上是增函数;…………2分
②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．
所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分
(II)当时, 取，
则, 不合题意.
当时令,则………6分
问题化为求恒成立时的取值范围.
由于 ………7分
在区间上,;在区间上,.
的最小值为,所以只需
即,,………9分
(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以
构造函数:()
………11分
则
所以函数在区间上为减函数. ,则,
于是,又,,由在上为减函数可知.即…………………14分
19. 已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，．
（1）求证：平分；
（2）求的长．
参考答案：
（1）连接，因为，
所以 ．
为半圆的切线，∴．
∵，．
．
平分． 5分
（2）连接，由（1）得，∴．
∵四点共圆．∴．
∵AB是圆O的直径，∴是直角．∴∽，
．∴． 10分
考点：1.弦切角与圆周角.2.圆的切线.3.等腰三角形.
略
20. （本小题满分12分）
已知向量m=，n=，函数=mn.
（1）求函数的对称中心；
（2）在中，分别是角A,B,C的对边，且，，且，求的值．
参考答案：
（1），
………2分
. ………4分
令得,,∴函数的对称中心为. ………5分
(2），，
C是三角形内角，∴ 即： ………7分
即：． ………9分
将代入可得：，解之得：或4,
， ………11分
………12分
21. 已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点．
（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEG?kFH=﹣，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|．
所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，
所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以，
故轨迹C的方程．
（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，
则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）．
联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
则．①
由，
得．②
由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③
设原点到直线EH的距离为，，④
由③、④，得，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为．
22. 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．
参考答案：
（1）不是封闭数列．
因为取，则，即从而，所以不是封闭数列；
（2）因为，所以是等差数列，又，所以，
若是“封闭数列”，所以对任意，必存在，使得
，即，故是偶数，又对任意都有，且，所以，故，故可取的值为 经检验得：或；
（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在，使，则
，故存在，使
下面证明
①当时，显然成立
②当时，若时则取，对不同的两项，存在，使，即，这与矛盾，故存在整数，使
（充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是，由于，为正整数，即证毕．