河北省保定市定兴县第一中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数是指数函数,则的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知函数,则关于的方程的实根个数不可能为( )
A.个 B.个 C.个 D. 个
参考答案:
A 【知识点】根的存在性及根的个数判断.B9
当时,即或,
∴,
当时,即
或,
∴,
∴,
其图象如下图所示:
故选:A.
【思路点拨】首先,根据所给函数,求解的图象,然后,根据图象,得到相应的结果.
3. 已知全集集合则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体,其体积为1.而棱长为3的正方体的体积为27.故所求概率为.选B.
5. 若复数z=ai2-bi(a,b∈R)是纯虚数,则一定有( )
A.b=0 B.a=0且b≠0 C.a=0或b=0 D.ab≠0
参考答案:
B
z=ai2-bi=-a-bi,由纯虚数定义可得a=0且b≠0,故选B.
6. 如图,是圆的内接三角行,的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分;②;③;④.则所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
参考答案:
D
∵,,∴,,∴BD平分,∴∽,
∴,∴,∴, .
7. 函数的定义域是
A. B. C. D.
.
参考答案:
【答案解析】D 要使函数有意义则故选D。
【思路点拨】先表示有意义的式子,再解出结果。
8. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为( )
A.8π B.12π C.16π D.32π
参考答案:
C
考点:球的体积和表面积.
专题:球.
分析:取CD的中点E,连结AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积.
解答: 解:取CD的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,
△BCD是边长为3的等边三角形.
∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,
△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,
BE=,BG=,
R===2.
四面体ABCD外接球的表面积为:4πR2=16π.
故选:C.
点评:本题考查球的内接体知识,考查空间想象能力,确定球的切线与半径是解题的关键.
9. 已知全集,集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. “”是“直线:与直线:平行”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在处取得极大值10,则的值为 __________.
参考答案:
略
12. 定义:,其中是虚数单位,,且实数指数幂的运算性质对都适应。若,,则 .
参考答案:
13. 如图,AB是圆0的直径,CD⊥AB于D点,且AD=2BD,E为AD的中点,连接CE并延长交圆O于F,若CD=,则EF= .
参考答案:
14. 某班有学生40人,将其数学期中考试成绩平均分为两组,第一组的平均分为80分,标准差为4,第二组的平均分为90分,标准差为6, 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为
参考答案:
85,
成绩平均分85 ,方差为
15. 若不等式组表示的平面区域所表示的平面的区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为 。
参考答案:
略
16. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .
参考答案:
4
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q>0,a1>0.
∵a8=a6+2a4,
∴,
化为q4﹣q2﹣2=0,解得q2=2.
∴a6===1×22=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.
17. 从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的4个顶点,这些几何体(或平面图形)是①③④
(写出所有正确的结论的编号)________
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
参考答案:
①③④⑤
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(I)求f(x)的最小值m;
(II)若a,b,c均为正实数,且满足,求证:.
参考答案:
I)当时,
当时,,
当时,
综上,的最小值
(II) 证明: 均为正实数,且满足,
∵
( 当且仅当时,取“=”)
∴,即
19.
参考答案:
略
20. (本小题满分12分)已知三点的坐标分别是,,其中,且.
(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)当 时,求函数 的最大值和最小值.
参考答案:
解:(Ⅰ) =(cosθ-3,sinθ), =(cosθ,sinθ-3) … 2分
∵ ∴
化简得:sinθ=cosθ ……………………………………………… 5分
∵<θ< ∴θ= …………………………………… 7分
(Ⅱ)当0≤x≤时,……10分
∴ …………………………………………12分
略
21. 某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%.
(1)若某企业产值100万元,核定可得9万元奖金,试分析函数y=lgx+kx+5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型,并说明原因(已知lg2≈0.3,lg5≈0.7);
(2)若采用函数f(x)=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(1)根据公司要选择的函数模型所要满足的条件,逐一分析,即可得出结论;
(2)根据奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%,确定a的范围,即可确定最小的正整数a的值.
【解答】解:(1)对于函数模型y=lgx+kx+5 ( k 为常数 ),
x=100时,y=9,代入解得k=,
所以y=lgx++5.
当x∈[50,500]时,y=lgx++5是增函数,但x=50时,f(50)=lg50+6>7.5,即奖金不超过年产值的15%不成立,故该函数模型不符合要求;
(2)对于函数模型f(x)==15﹣
a为正整数,函数在[50,500]递增; f(x)min=f(50)≥7,解得a≤344;
要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立,即a≥﹣0.15x2+13.8x对x∈[50,500]恒成立,
所以a≥315.
综上所述,315≤a≤344,
所以满足条件的最小的正整数a的值为315.
22. 已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直,求f(x)的单调区间;
(2)求证:f(x)≥1恒成立的充要条件是a=1.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)利用曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直,求出a的值,利用导数的正负求f(x)的单调区间;
(2)分充分性、必要性证明,即可证明f(x)≥1恒成立的充要条件是a=1.
【解答】(1)解:因为,所以f'(1)=1﹣a,
所以,解得a=3.
令,得x>3,所以f(x)得单调递增区间为(3,+∞),
令,得0<x<3,所以f(x)的单调递减区间为(0,3).
(2)证明:①充分性.
当a=1时,f(x)=x﹣lnx,,
所以当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当0<x<1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数.
所以f(x)≥f(1)=1.
②必要性.,其中x>0.
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
而f(1)=1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<1,与f(x)≥1恒成立矛盾,
所以a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,
因为当x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
当0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数.
所以f(x)≥f(a)=a﹣alna,
因为f(1)=1,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=1,此时与f(x)≥1恒成立矛盾,
所以a=1.
综上所述,f(x)≥1恒成立的充要条件是a=1.